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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 29b

Obtenha uma equação geral do plano que contém r e forma ângulo de θ radianos com π .

b) X = 8 ,   0 ,   0 + λ - 8 ,   0 ,   8                               π : x + z + 1 = 0                       cos ⁡ θ = 2 3

Passo 1

Vamos começar escrevendo equações planares para r , suas equações paramétricas são

r :   x = 8 - 8 λ y = 0 z = 8 λ

Substituindo λ = z 8 na primeira equação, encontramos as equações planares de r :

x + z - 8 = 0 y = 0

Passo 2

O plano π 1 que queremos pertence ao feixe de planos que contém a reta r , ou seja:

α . x + z - 8 + β . y = 0

Agrupando os termos, temos que a equação genérica de π 1 é

x . α + y . β + z . α - 8 α = 0

Passo 3

Um vetor normal de π 1 é

n → 1 = ( α ,   β ,   α )

Enquanto um vetor normal de π é

n → = ( 1 ,   0 ,   1 )

Então:

cos ⁡ θ = 2 3 = ( α ,   β ,   α ) . ( 1 ,   0 ,   1 ) | | ( α ,   β ,   α ) | | . | | ( 1 ,   0 ,   1 ) | |

2 3 = 2 α 2 α 2 + β ² . 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

2 3 = 4 α ² 4 α 2 + 2 β ²

Resolvendo essa equação para α , encontramos α = β e α = - β .

Passo 4

Vamos substituir os α que encontramos na equação genérica de π 1 :

x . α + y . β + z . α - 8 α = 0

Para α = β

π 1 ' :   x . β + y . β + z . β - 8 β = 0

Dividindo tudo por β :

π 1 ' :   x + y + z - 8 = 0

Para α = - β :

π 1 ' ' :   - x . β + y . β - z . β + 8 β = 0

Dividindo tudo por β :

π 1 ' ' :   - x + y - z + 8 = 0

Resposta

π 1 ' :   x + y + z - 8 = 0

π 1 ' ' :   - x + y - z + 8 = 0

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