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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 29.Problemas - Ex. 2

Obtenha uma equação para o plano que contém o ponto P e é perpendicular ao segmento de reta A B nos seguintes casos:

a )   P   =   ( 0 ,   0 ,   0 ) ,   A   =   ( 1 ,   2 ,   3 ) ,   B   =   ( 2 ,   - 1 ,   2 ) ;  

b )   P   =   ( 1 ,   1 ,   - 1 ) ,   A   =   ( 3 ,   5 ,   2 ) ,   B   =   ( 7 ,   1 ,   12 ) ;  

c )   P   =   ( 3 ,   3 ,   3 ) ,   A   =   ( 2 ,   2 ,   2 ) ,   B   =   ( 4 ,   4 ,   4 ) ;  

d )   P   =   ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) ,   A   =   ( x 1 ,   y 1 ,   z 1 ) ,   B   =   ( x 2 ,   y 2 ,   z 2 ) .

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente vamos encontrar a equação das retas AB, vou encontrá-la utilizando a condição de alinhamento entre pontos.

Lembra?

Relaxa basta resolver o determinante:

Vamos aplica-lá então!

Para encontrar a equação do plano basta aplicar a condição:

P Q →   .   v → = 0  

Logo a equação do plano será:

1 ( x - 0 ) +   2 ( y - 0 ) +   3 ( z - 0 ) =   0

x +   2 y +   3 z =   0

Passo 2

Para P   =   1 ,   1 ,   - 1 ,   A   =   3 ,   5 ,   2 ,   B   =   7 ,   1 ,   12 , vamos repetir o item anterior

Aplicando a condição de alinhamento vamos obter:

Para encontrar a equação do plano basta aplicar a condição:

P Q →   .   v → = 0  

Logo a equação do plano será:

3 ( x - 1 ) +   5 ( y - 1 ) +   2 ( z + 1 ) =   0

3 x - 3 +   5 y - 5 +   2 z + 2 =   0

3 x +   5 y +   2 z =   6

Passo 3

Para P   =   ( 3 ,   3 ,   3 ) ,   A   =   ( 2 ,   2 ,   2 ) ,   B   =   ( 4 ,   4 ,   4 ) ;   , vamos repetir o item anterior

Aplicando a condição de alinhamento vamos obter:

Para encontrar a equação do plano basta aplicar a condição:

P Q →   .   v → = 0  

Logo a equação do plano será:

3 ( x - 2 ) +   3 ( y - 2 ) +   3 ( z - 2 ) =   0

3 x - 6 +   3 y - 6 +   3 z - 6 =   0

3 x +   3 y +   3 z =   18

Passo 4

Quase acabando!

Para P   =   ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) ,   A   =   ( x 1 ,   y 1 ,   z 1 ) ,   B   =   ( x 2 ,   y 2 ,   z 2 ) , vamos repetir o item anterior

Para esse exercício em especifico vou fazer a troca x 1 = a ,   y 1 = b ,   z 1 = c ; x 2 = f ,   y 2 = e ,   z 2 = d

Aplicando a condição de alinhamento vamos obter:

Para encontrar a equação do plano basta aplicar a condição:

P Q →   .   v → = 0  

Logo a equação do plano será:

x 0 ( x - a ) +   y 0 ( y - b ) +   z 0 ( z - c ) =   0

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

a) x +   2 y +   3 z =   0

b)

3 x +   5 y +   2 z =   6

c)

3 x +   3 y +   3 z =   18

d)

x 0 ( x - a ) +   y 0 ( y - b ) +   z 0 ( z - c ) =   0

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