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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 6

Sendo

x = 1 + h - 2 t y = 1 - t z = 4 + 2 h - 2 t

Equações paramétricas de um plano π , obter uma equação geral.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Para escrever uma equação geral precisamos de duas coisas: um ponto que pertença a ele e um vetor perpendicular. O ponto pode ser dado quando os parâmetros h e t são zero. Assim o ponto é ( 1,1 , 4 ) .

E o vetor? Bom, temos dois vetores diretores a partir das equações paramétricas, e fazendo o produto vetorial entre esses dois vetores, teremos um vetor normal.

Beleza?

Passo 2

Um dos vetores diretores é composto pelos números que multiplicam o parâmetro t : ( - 2 , - 1 , - 2 ) ; e outro é composto pelos números associados ao h : ( 1,0 , 2 ) . Agora precisamos fazer o produto vetorial:

- 2 , - 1 , - 2 × 1,0 , 2 = i ^ j ^ k ^ - 2 - 1 - 2 1 0 2 = i ^ - 2 + 0 + j ^ - 2 + 4 + k ^ ( 0 + 1 )

= ( - 2,2 , 1 )

Tranquilo?

Passo 3

Reunindo as informações que calculamos temos:

x 0 , y 0 , z 0 = ( 1,1 , 4 )

a , b , c = ( - 2,2 , 1 )

E agora é só substituir na equação geral do plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

- 2 x - 1 + 2 y - 1 + 1 z - 4 = 0

- 2 x + 2 y + z + 2 - 2 - 4 = 0

- 2 x + 2 y + z - 4 = 0

E multiplicando toda equação por - 1 (só pra deixar o termo com x positivo, só frescurite mesmo =D) temos a equação geral:

2 x - 2 y - z + 4 = 0

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

2 x - 2 y - z + 4 = 0

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Seja o plano π : 2 x - y + 3 z + 1 = 0 Calcular:b) O ponto π que tem abscissa 1 e cota 2;
Seja o plano π : 2 x - y + 3 z + 1 = 0 Calcular:c) O valor de k para que o ponto P ( 2 ,k + 1 ,k ) pertença a π ;
Nos problemas de 2 a 10, determinar a equação geral do plano8) paralelo ao eixo dos y e que contém os pontos A ( 2 ,1 ,0 ) e B ( 0 ,2 ,1 ) ;
Seja o plano π : 2 x - y + 3 z + 1 = 0 Calcular:d) O ponto de abscissa zero e cuja coordenada é o dobro da cota.
Nos problemas de 2 a 10, determinar a equação geral do plano4) mediador do segmento de extremos A ( 1 , - 2 ,6 ) e B ( 3 ,0 ,0 ) ;