Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 9

Nos problemas , escrever uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano determinado pelos pontos:

9).

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Relembrar é viver, né?Sendo assim, vou te relembrar do eu será preciso para cada equação do plano.

Para escrever um sistema de equações paramétricas do plano precisamos de dois vetores diretores do plano e de um ponto. O sistema de equações é:

Onde e são os vetores e é o ponto.

Já para determinar uma equação geral precisamos de um ponto que pertença ao plano e de um vetor que seja ortogonal. A equação geral é:

Onde são as coordenadas do ponto e as componentes do vetor.

A ideia para resolver essa questão é a seguinte:

A partir dos pontos, determinar dois vetores diretores do plano e escolhendo um dos pontos, escrever as equações paramétricas do plano;
Depois, com os mesmos dois vetores diretores, fazer um produto vetorial entre eles, e assim determinar um vetor ortogonal ao plano, que é necessário pra gente escrever a equação geral. E o ponto? Pode ser qualquer um dos três que foram dados =)

Beleza? Então a partir de agora, vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Dos pontos , vamos encontrar dois vetores: um indo de até e outro indo de até :

Tranquilo?

Passo 3

E agora escolhendo o ponto e com os dois vetores do passo anterior, já podemos escrever as equações paramétricas:

Agora é só substituir:

Beleza? Agora vamos para a equação geral?

Passo 4

Bom, vamos resgatar os dois vetores que achamos no passo :

E como esses dois vetores são paralelos ao plano, se fizermos o produto vetorial entre eles, vamos ter um vetor ortogonal ao plano. E é dele que precisamos para equacionar esse plano. Fazendo o produto vetorial:

Passo 5

Agora usando o vetor ortogonal e escolhendo o ponto podemos escrever a equação geral do plano:

E vou multiplicar por só para ficar mais bonitinho, mas é firula pessoal, pode deixar assim que também está certinho! Assim a equação geral do plano fica: