Enunciado

Obtenha uma equação da superfície gerada pela rotação de Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 em torno de O z .

(b) Ω 1 : y = 0                     Ω 2 : 3 x 2 + 3 z = 1

Passo 1

Devemos obter uma equação da superfície gerada pela rotação da curva em torno de um eixo dado, certo?

A curva que queremos rotacionar é dada pela interseção Ω 1 ∩ Ω 2 , que é uma cônica. Vamos fazer a representação gráfica dela:

Passo 2

Pela observação 26.9, temos que:

f x 2 + y 2 , z = 0

Trazendo para o nosso exercício, temos que:

f x , z = 3 x 2 + 3 z - 1 = 0

                                            ⇒ f x 2 + y 2 , z = 0

                                                                            ⇒ 3 x 2 + y 2 2 + 3 z - 1 = 0

                                                                      ⇒ 3 ( x 2 + y 2 ) + 3 z = 1                        

Portanto, encontramos que a equação da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo O z é 3 ( x 2 + y 2 ) + 3 z = 1 .

Resposta

3 ( x 2 + y 2 ) + 3 z = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Identificar e representar graficamente as superfícies expressas pelas equações nos intervalos dados.g) x 2 = 2 z , - 3 ≤ z ≤ 5
Identificar e representar graficamente as superfícies expressas pelas equações nos intervalos dados.h) x 2 - y 2 + z 2 = 0 , - 4 ≤ y ≤ 4
Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado: z 2 4 - y 2 = 1 , x = 0 ; e i x oO y
Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado: z = 2 y , x = 0 ; e i x oO z
Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado: z 2 4 - y 2 = 1 , x = 0 ; e i x oO z