Obtenha uma equação da superfície gerada pela rotação de Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 em torno de O z .

(b) Ω 1 : y = 0                     Ω 2 : 3 x 2 + 3 z = 1

Passo 1

Devemos obter uma equação da superfície gerada pela rotação da curva em torno de um eixo dado, certo?

A curva que queremos rotacionar é dada pela interseção Ω 1 ∩ Ω 2 , que é uma cônica. Vamos fazer a representação gráfica dela:

Passo 2

Pela observação 26.9, temos que:

f x 2 + y 2 , z = 0

Trazendo para o nosso exercício, temos que:

f x , z = 3 x 2 + 3 z - 1 = 0

                                            ⇒ f x 2 + y 2 , z = 0

                                                                            ⇒ 3 x 2 + y 2 2 + 3 z - 1 = 0

                                                                      ⇒ 3 ( x 2 + y 2 ) + 3 z = 1                        

Portanto, encontramos que a equação da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo O z é 3 ( x 2 + y 2 ) + 3 z = 1 .

Resposta

3 ( x 2 + y 2 ) + 3 z = 1

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