Enunciado

Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado:

z = 2 y , x = 0 ; e i x o   O z

Passo 1

Fala meus consagrados, tudo na boa?

Vamos começar a resolver mais um exercício. Acontece que aqui temos um detalhe mega especial, o nosso digníssimo livro nos diz que: Se a nossa geratriz estiver contida em um dos planos (pode ser x , y ou z ) e girar em torno desse plano, podemos usar uma tabelinha de substituição. Para começar precisamos ter o termo y 2 ,para isso, elevamos a função ao quadrado:

z 2 = 2 y 2

z 2 = 4 y 2

O nosso problema nos diz que x = 0 e que a curva gira em torno de O z , então podemos substituir o y da equação por:

x 2 + y 2

Substituindo na equação teremos:

z 2 = 4 x 2 + y 2 2

Cortando a raiz com a potência:

z 2 = 4 ( x 2 + y 2 )

x 2 + y 2 - z 2 4 = 0

Deu boa? Fechoou!

Resposta

x 2 + y 2 - z 2 4 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície cônica de vértice V e diretriz Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 , nos casos: V = 0,0 , 0 Ω 1 : x 2 - 2 z + 1 = 0 Ω 2 : y - z + 1 = 0 V = 0,0 , 1 Ω 1 : x 2 + y 2
Descreva, em cada caso, a curva-interseção do plano π com a superfície cilíndrica de geratrizes paralelas a r → , cuja diretriz é a interseção das superfícies Ω 1 e Ω 2 . Ω 1 : x 2 + y 2 + z - 1 2 = 1
Prove que superfícies cilíndricas circulares e superfícies cônicas circulares são quádricas.
Prove que uma equação da forma h x , y = 0 (note a ausência de z) descreve uma superfície cilíndrica de geratrizes paralelas a O z e diretriz Γ : h x , y = 0 z = 0 (vale resultado análogo para equaçõe
Obtenha, em cada caso, uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica cuja diretriz é a interseção das superfícies Ω 1 e Ω 2 e cujas geratrizes são paralelas à reta r . Ω 1 : x 2 + y 2 =