Enunciado

Obtenha um plano π , paralelo a π 1 : x - y + 3 z - 20 = 0 , que satisfaz a condição especificada em cada caso (o sistema de coordenadas é ortogonal).

a) π intercepta o eixo O z em um ponto que dista 6 do ponto ( - 2 ,   1 ,   0 ) .

b) π intercepta os eixos coordenados nos vértices de um triângulo de área 11 6 .

Passo 1

Antes de qualquer coisa, como os planos que vamos encontrar são paralelos a π 1 , eles têm uma equação geral dada por

π 1 :   x - y + 3 z + d = 0

Então o nosso objetivo nos dois casos é encontrar um ponto do nosso plano para aí encontrarmos d ok?

Passo 2

a) O eixo O z é uma reta que passa pela origem e tem vetor diretor ( 0 ,   0 ,   1 ) , ou seja:

O z : X = 0 ,   0 ,   0 + λ ( 0 ,   0 ,   1 )

Queremos saber qual o ponto dessa reta que o nosso plano passa, o que sabemos sobre esse ponto?

Primeiro, esse ponto pode ser escrito de forma genérica pela equação da reta:

P = ( 0 ,   0 ,   λ )

E segundo, esse ponto P dista 6 do ponto ( - 2 ,   1 ,   0 ) , então, pela fórmula de distância entre pontos:

- 2 - 0 2 + 1 - 0 2 + 0 - λ 2 = 6

5 + λ ² = 6

Elevando os dois lados ao quadrado:

5 + λ 2 = 6

λ = ± 1

Passo 3

Substituindo no ponto P , temos duas alternativas de ponto:

P ' = 0 ,   0 ,   1   e   P ' ' = ( 0 ,   0 ,   - 1 )

Então, vamos ter também duas opções de plano, substituindo P ' na equação do plano π 1 :

0 - 0 + 3 . 1 + d = 0 → d = - 3

E agora o ponto P ' ' :

0 - 0 + 3 - 1 + d = 0 → d = 3

Logo, as opções de plano aqui são

x - y + 3 z - 3 = 0         o u         x - y + 3 z + 3 = 0

Aí embaixo temos em roxo os dois planos que encontramos, em azul o plano do enunciado e em rosa os pontos de intersecção dos planos com o eixo O z :)

Passo 4

b) Os vértices do triângulo que temos são dados por x ,   0 ,   0 ,   0 ,   y ,   0 ,   ( 0 ,   0 ,   z ) não é? Porque eles estão nos eixos coordenados.

Além disso, esses 3 vértices também passam pelo plano x - y + 3 z + d = 0 , então substituindo cada um desses pontos no plano, temos as relações:

x + d = 0 → x = - d

- y + d = 0 → y = d

3 z + d = 0 → z = - d 3

Beleza, encontramos uma relação entre os vértices e o valor de d que queremos encontrar hehe

Passo 5

Então os nossos vértices do triângulo são:

A = - d ,   0 ,   0                             B = 0 ,   d ,   0                             C = 0 ,   0 ,   - d 3

Sabemos que a área desse triângulo é dada por A B → ∧ A C → 2 né?

Então:

A B → = ( d ,   d ,   0 )

A C → = d ,   0 ,   - d 3

Logo:

A = d ,   d ,   0 ∧ d ,   0 ,   - d 3 2

A = - d 2 3 , d 2 3 ,   - d 2 2

Calculando o módulo do vetor:

A = 11 d 2 3 2

A = 11 d 2 6

Passo 6

O enunciado nos diz que a área do triângulo é 11 6

11 d 2 6 = 11 6

d 2 = 1

d = ± 1

Como encontramos dois valores para d , temos duas alternativas de planos:

x - y + 3 z + 1 = 0                 o u               x - y + 3 z - 1 = 0

Aí embaixo, em azul temos o plano do enunciado, em roxo temos o plano x - y + 3 z + 1 = 0 e o triângulo que ele forma com os eixos coordenados :)

Resposta

a) x - y + 3 z - 3 = 0         o u         x - y + 3 z + 3 = 0

b) x - y + 3 z + 1 = 0                 o u               x - y + 3 z - 1 = 0

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Calcule m para que os planos π 1 : X = 1 ,1 ,0 + λ m ,1 ,1 + μ ( 1 ,1 ,m ) e π 2 : 2 x + 3 y + 2 z + n = 0 sejam paralelos distintos, nos casos:a) n = - 5 b) n = 1
Estude a posição relativa dos planos π 1 e π 2 .a) π 1 : X = 1 ,1 ,1 + λ 0 ,1 ,1 + μ - 1 ,2 ,1π 2 : X = 1 ,0 ,0 + λ 1 ,- 1 ,0 + μ ( - 1 ,- 1 ,- 2 )
Estude a posição relativa dos planos π 1 : 2 x + y + 3 z + 1 = 0 e π 2 : X = 1 ,1 ,1 + λ 1 ,1 ,0 + μ ( 2 ,- 1 ,m ) .
Estude a posição relativa dos planos π 1 e π 2 .d) π 1 : x - y + 2 z - 2 = 0π 2 : X = 0 ,0 ,1 + λ 1 ,0 ,3 + μ ( - 1 ,1 ,1 )