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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 16.Exercício - Ex. 19

Estude a posição relativa dos planos pi 1 : 2 x + y + 3 z + 1 = 0 e pi 2 : X = (1 , 1 , 1) + lambda (1 , 1 , 0) + mu ( 2 , - 1 , m ) .

Passo 1

Vamos escrever uma equação geral para pi 2 ok? O vetor normal desse plano é o produto vetorial dos seus vetores diretores:

(1 , 1 , 0) ^^ (2 , - 1 , m) = ( m , - m , - 3 )

Então a equação do plano pode ser escrita como

m x - m y - 3 z + d = 0

Para encontrar d , vamos substituir o ponto ( 1 , 1 , 1 ) do plano nessa equação:

m . 1 - m . 1 - 3 . 1 + d = 0

d = 3

Então:

pi 2 : m x - m y - 3 z + 3 = 0

Passo 2

Vamos formar 2 vetores para cada plano: um é o vetor normal, formado pelos coeficientes de x , y , z e o outro é o vetor a , formado pelos coeficientes de y , z e o coeficiente d :

vec n_1 = (2 , 1 , 3) , vec a_1 = ( 1 , 3 , 1 )

vec n_2 = (m , - m , - 3) , vec a_2 = ( - m , - 3 , 3 )

De cara, percebemos que vec n_1 e vec n_2 são LI para qualquer valor de m , porque olha:

(m , - m , - 3) = ( 2 alpha , alpha , 3 alpha )

Igualando as terceiras coordenadas, temos que - 3 = 3 alpha -> alpha = - 1

Substituindo em ( 2 alpha , alpha , 3 alpha ) , isso nos daria o vetor ( - 2 , - 1 , - 3 ) , mas esse vetor deveria estar no formato (m , - m , - 3) , ou seja, com os dois primeiros números iguais e com sinais diferentes.

Logo, a solução alpha = - 1 não é válida e então a única solução é alpha = 0 , logo, os vetores são LI

Como os vetores normais são LI, os planos são transversais para qualquer valor de m ;)

Resposta

Os planos são transversais para qualquer valor de m .

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