Enunciado

Estude a posição relativa dos planos pi 1 : 2 x + y + 3 z + 1 = 0 e pi 2 : X = (1 , 1 , 1) + lambda (1 , 1 , 0) + mu ( 2 , - 1 , m ) .

Passo 1

Vamos escrever uma equação geral para pi 2 ok? O vetor normal desse plano é o produto vetorial dos seus vetores diretores:

(1 , 1 , 0) ^^ (2 , - 1 , m) = ( m , - m , - 3 )

Então a equação do plano pode ser escrita como

m x - m y - 3 z + d = 0

Para encontrar d , vamos substituir o ponto ( 1 , 1 , 1 ) do plano nessa equação:

m . 1 - m . 1 - 3 . 1 + d = 0

d = 3

Então:

pi 2 : m x - m y - 3 z + 3 = 0

Passo 2

Vamos formar 2 vetores para cada plano: um é o vetor normal, formado pelos coeficientes de x , y , z e o outro é o vetor a , formado pelos coeficientes de y , z e o coeficiente d :

vec n_1 = (2 , 1 , 3) , vec a_1 = ( 1 , 3 , 1 )

vec n_2 = (m , - m , - 3) , vec a_2 = ( - m , - 3 , 3 )

De cara, percebemos que vec n_1 e vec n_2 são LI para qualquer valor de m , porque olha:

(m , - m , - 3) = ( 2 alpha , alpha , 3 alpha )

Igualando as terceiras coordenadas, temos que - 3 = 3 alpha -> alpha = - 1

Substituindo em ( 2 alpha , alpha , 3 alpha ) , isso nos daria o vetor ( - 2 , - 1 , - 3 ) , mas esse vetor deveria estar no formato (m , - m , - 3) , ou seja, com os dois primeiros números iguais e com sinais diferentes.

Logo, a solução alpha = - 1 não é válida e então a única solução é alpha = 0 , logo, os vetores são LI

Como os vetores normais são LI, os planos são transversais para qualquer valor de m ;)

Resposta

Os planos são transversais para qualquer valor de m .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os vértices B , C e D de um quadrado A B C D , sabendo que A = ( 0 ,- 19 ,4 ) , um lado está contido no plano π 1 : 2 x - 2 y + z = 15 , outro, no plano π 2 : 2 x + y - 2 z = 0 , e o plano d
Sejam π 1 : X = A + λ u → + μ v → e π 2 : X = B + λ w → + μ t → . Desenvolva um método para estudar a posição relativa desses planos sem utilizar equações gerais.
Mostre que a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 = 0 é uma condição suficiente, mas não necessária, para que os planos π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e π 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 sejam transve
Estude a posição relativa dos planos π 1 e π 2 .c) π 1 : 2 x - y + 2 z - 1 = 0π 2 : 4 x - 2 y + 4 z = 0
Estude a posição relativa dos planos π 1 e π 2 .b) π 1 : X = 4 ,2 ,4 + λ 1 ,1 ,2 + μ 3 ,3 ,1π 2 : X = 3 ,0 ,0 + λ 1 ,1 ,0 + μ ( 0 ,1 ,4 )