Calcule m para que os planos π 1 : X = 1 ,1 ,0 + λ m ,1 ,1 + μ ( 1 ,1 ,m ) e π 2 : 2 x + 3 y + 2 z + n = 0 sejam paralelos distintos, nos casos:a) n = - 5 b) n = 1

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 16.Exercício - Ex. 17

Calcule para que os planos e sejam paralelos distintos, nos casos:

a)

b)

Passo 1

Antes de qualquer coisa, vamos encontrar uma equação geral para o plano .

O vetor normal desse plano é o produto vetorial de seus vetores diretores:

Então, a equação do plano pode ser escrita como:

Para encontrarmos , vamos substituir o ponto nessa equação:

Então:

Passo 2

a) Para , a equação do plano é

Vamos formar 2 vetores para cada plano: um é o vetor normal, formado pelos coeficientes de e o outro é o vetor , formado pelos coeficientes de e o coeficiente :

Queremos que os planos sejam paralelos distintos, então, pela observação 16-5 do seu livro, e devem ser LD, enquanto e devem ser LI certo?

Passo 3

Para que os vetores normais sejam LD, deve existir um tal que

Igualando as coordenadas:

Resolvendo esse sistema, encontramos (para ) ou (para )

Porém, se substituirmos nos vetores que temos, isso vai nos dá o vetor nulo, e é impossível termos um plano com coeficientes nulos.

E se substituirmos , os vetores e não vão ser LI como queremos :/

Então, não existe que satisfaça o que queremos.

Passo 4

b) Para , a equação do plano é

Vamos formar 2 vetores para cada plano: um é o vetor normal, formado pelos coeficientes de e o outro é o vetor , formado pelos coeficientes de e o coeficiente :

Queremos que os planos sejam paralelos distintos, então, pela observação 16-5 do seu livro, e devem ser LD, enquanto e devem ser LI certo?

Passo 5

Para que os vetores normais sejam LD, deve existir um tal que

Igualando as coordenadas:

Resolvendo esse sistema, encontramos (para ) ou (para )

Porém, se substituirmos nos vetores que temos, isso vai nos dá o vetor nulo, e é impossível termos um plano com coeficientes nulos.

Então, só vamos ter , que também faz os vetores e serem LI, que é o que queremos.

Resposta

a) Não existe

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O vetor ( 1 ,1 ,m ) é normal ao plano π , que contém a intersecção dos planos π 1 : x - y + z + 1 = 0 e O y z . Determine m e obtenha uma equação geral de π .

Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta r : X = 1 ,0 ,2 + λ( 4 ,1 ,0 ) e é perpendicular a π : 3 x + y + z = 0 .

Obtenha uma equção geral do plano que contém a origem do sistema de coordenadas, é paralelo a r :- x = 1 - y / 4 = ( 1 - z ) / 5 e perpendicular a π : X = 1 ,2 ,3 + λ0 ,4 ,- 3 + μ( 1 ,- 1 ,- 2 ) .

Estude a posição relativa dos planos π 1 : 2 x + y + 3 z + 1 = 0 e π 2 : X = 1 ,1 ,1 + λ1 ,1 ,0 + μ( 2 ,- 1 ,m ) e verifique se existe algum valor de m para o qual π 1 e π 2 sejam perpendiculares.

Dados pi_1 : X = (1 , - 2 , 0) + lambda (1 , 0 , - 1) + mu ( 0 , 0 , - 1 ) e pi_2 : X = (1 , 0 , 3) + lambda (1 , 2 , 0) + mu ( - 1 , 1 , - 1 ) , obtenha uma equação vetorial de pi_1 nn pi_2 .