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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 16.Exercício - Ex. 17

Calcule m para que os planos π 1 : X = 1 ,   1 ,   0 + λ m ,   1 ,   1 + μ ( 1 ,   1 ,   m ) e π 2 : 2 x + 3 y + 2 z + n = 0 sejam paralelos distintos, nos casos:

a) n = - 5

b) n = 1

Passo 1

Antes de qualquer coisa, vamos encontrar uma equação geral para o plano π 1 .

O vetor normal desse plano é o produto vetorial de seus vetores diretores:

m ,   1 ,   1 ∧ 1 ,   1 ,   m = ( m - 1 ,   1 - m 2 ,   m - 1 )

Então, a equação do plano pode ser escrita como:

m - 1 x + 1 - m 2 y + m - 1 z + d = 0

Para encontrarmos d , vamos substituir o ponto ( 1 ,   1 ,   0 ) nessa equação:

m - 1 1 + 1 - m 2 1 + m - 1 0 + d = 0

m - 1 + 1 - m 2 + d = 0

d = m 2 - m

Então:

π 1 :   m - 1 x + 1 - m 2 y + m - 1 z + m 2 - m = 0

Passo 2

a) Para n = - 5 , a equação do plano π 2 é 2 x + 3 y + 2 z - 5 = 0

Vamos formar 2 vetores para cada plano: um é o vetor normal, formado pelos coeficientes de x ,   y ,   z e o outro é o vetor a , formado pelos coeficientes de y ,   z e o coeficiente d :

n 1 → = m - 1 ,   1 - m 2 ,   m - 1 ,   a 1 → = ( 1 - m 2 ,   m - 1 ,   m 2 - m )

n 2 → = 2 ,   3 ,   2 ,   a 2 → = ( 3 ,   2 ,   - 5 )

Queremos que os planos sejam paralelos distintos, então, pela observação 16-5 do seu livro, n 1 → e n 2 → devem ser LD, enquanto a 1 → e a 2 → devem ser LI certo?

Passo 3

Para que os vetores normais sejam LD, deve existir um α ≠ 0 tal que

m - 1 ,   1 - m 2 ,   m - 1 = α ( 2 ,   3 ,   2 )

Igualando as coordenadas:

2 α = m - 1 3 α = - m 2 + 1 2 α = m - 1

Resolvendo esse sistema, encontramos m = - 5 2 (para α = - 7 4 ) ou m = 1 (para α = 0 )

Porém, se substituirmos m = 1 nos vetores que temos, isso vai nos dá o vetor nulo, e é impossível termos um plano com coeficientes nulos.

E se substituirmos m = - 5 2 , os vetores a 1 → e a 2 → não vão ser LI como queremos :/

Então, não existe m que satisfaça o que queremos.

Passo 4

b) Para n = 1 , a equação do plano π 2 é 2 x + 3 y + 2 z + 1 = 0

Vamos formar 2 vetores para cada plano: um é o vetor normal, formado pelos coeficientes de x ,   y ,   z e o outro é o vetor a , formado pelos coeficientes de y ,   z e o coeficiente d :

n 1 → = m - 1 ,   1 - m 2 ,   m - 1 ,   a 1 → = ( 1 - m 2 ,   m - 1 ,   m 2 - m )

n 2 → = 2 ,   3 ,   2 ,   a 2 → = ( 3 ,   2 ,   1 )

Queremos que os planos sejam paralelos distintos, então, pela observação 16-5 do seu livro, n 1 → e n 2 → devem ser LD, enquanto a 1 → e a 2 → devem ser LI certo?

Passo 5

Para que os vetores normais sejam LD, deve existir um α ≠ 0 tal que

m - 1 ,   1 - m 2 ,   m - 1 = α ( 2 ,   3 ,   2 )

Igualando as coordenadas:

2 α = m - 1 3 α = - m 2 + 1 2 α = m - 1

Resolvendo esse sistema, encontramos m = - 5 2 (para α = - 7 4 ) ou m = 1 (para α = 0 )

Porém, se substituirmos m = 1 nos vetores que temos, isso vai nos dá o vetor nulo, e é impossível termos um plano com coeficientes nulos.

Então, só vamos ter m = - 5 2 , que também faz os vetores a 1 → e a 2 → serem LI, que é o que queremos.

Resposta

a) Não existe m

b) m = - 5 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O vetor ( 1 ,1 ,m ) é normal ao plano π , que contém a intersecção dos planos π 1 : x - y + z + 1 = 0 e O y z . Determine m e obtenha uma equação geral de π .
Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta r : X = 1 ,0 ,2 + λ( 4 ,1 ,0 ) e é perpendicular a π : 3 x + y + z = 0 .
Obtenha uma equção geral do plano que contém a origem do sistema de coordenadas, é paralelo a r :- x = 1 - y / 4 = ( 1 - z ) / 5 e perpendicular a π : X = 1 ,2 ,3 + λ0 ,4 ,- 3 + μ( 1 ,- 1 ,- 2 ) .
Estude a posição relativa dos planos π 1 : 2 x + y + 3 z + 1 = 0 e π 2 : X = 1 ,1 ,1 + λ1 ,1 ,0 + μ( 2 ,- 1 ,m ) e verifique se existe algum valor de m para o qual π 1 e π 2 sejam perpendiculares.
Dados π 1 : X = 1 ,- 2 ,0 + λ1 ,0 ,- 1 + μ( 0 ,0 ,- 1 ) e π 2 : X = 1 ,0 ,3 + λ1 ,2 ,0 + μ( - 1 ,1 ,- 1 ) , obtenha uma equação vetorial de π 1 ∩ π 2 .