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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 16.Exercício - Ex. 16d

Estude a posição relativa dos planos pi 1 e pi 2 .

d) pi 1 : x - y + 2 z - 2 = 0 pi 2 : X = (0 , 0 , 1) + lambda (1 , 0 , 3) + mu ( - 1 , 1 , 1 )

Passo 1

Primeiro vamos encontrar uma equação geral para pi 2 , só pra facilitarmos nossa vida ok?

O vetor normal do plano é o produto vetorial entre os vetores diretores:

(1 , 0 , 3) ^^ (- 1 , 1 , 1) = ( - 3 , - 4 , 1 )

Então, a equação do plano pode ser escrita como

- 3 x - 4 y + z + d = 0

Para encontrarmos d , vamos substituir o ponto ( 0 , 0 , 1 ) na equação, pois ele pertence ao plano de acordo com sua equação vetorial certo?

- 3 . 0 - 4 . 0 + 1 + d = 0

d = - 1

Então:

pi 2 : - 3 x - 4 y + z - 1 = 0

Passo 2

Agora que temos equações gerais dos dois planos, vamos formar 2 vetores para cada plano: um é o vetor normal, formado pelos coeficientes de x , y , z e o outro é o vetor a , formado pelos coeficientes de y , z e o coeficiente d :

vec n_1 = (1 , - 1 , 2) , vec a_1 = ( - 1 , 2 , - 2 )

vec n_2 = (- 3 , - 4 , 1) , vec a_2 = ( - 4 , 1 , - 1 )

vec n_1 e vec n_2 são LI, pois não existe alpha != 0 tal que

(- 3 , - 4 , 1) = alpha . ( 1 , - 1 , 2 )

vec a_1 e vec a_2 também são LI, pois não existe alpha != 0 tal que

(- 4 , 1 , - 1) = alpha ( - 1 , 2 , - 2 )

Como vec n_1 e vec n_2 são LI, temos pela observação 16-5 do seu livro que os planos são transversais.

Resposta

d) Transversais.

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