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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 16.Exercício - Ex. 16a

Estude a posição relativa dos planos pi 1 e pi 2 .

a) pi 1 : X = (1 , 1 , 1) + lambda (0 , 1 , 1) + mu (- 1 , 2 , 1) pi 2 : X = (1 , 0 , 0) + lambda (1 , - 1 , 0) + mu ( - 1 , - 1 , - 2 )

Passo 1

Vamos ver se a tripla de vetores { (0 , 1 , 1) , (- 1 , 2 , 1) , (1 , - 1 , 0) } é LI ou LD

alpha (0 , 1 , 1) + beta (- 1 , 2 , 1) + gamma (1 , - 1 , 0) = ( 0 , 0 , 0 )

(- beta + gamma , alpha + 2 beta - gamma , alpha + beta) = ( 0 , 0 , 0 )

Igualando as coordenadas:

{[[- beta + gamma = 0],[alpha + 2 beta - gamma = 0],[alpha + beta = 0]])

Esse sistema possui infinitas soluções.

Logo, a tripla de vetores é LD certo??

Passo 2

Agora vamos ver para a tripla { (0 , 1 , 1) , (- 1 , 2 , 1) , (- 1 , - 1 , - 2) } , ou seja, com o segundo vetor diretor do segundo plano.

alpha (0 , 1 , 1) + beta (- 1 , 2 , 1) + gamma (- 1 , - 1 , - 2) = ( 0 , 0 , 0 )

(- beta - gamma , alpha + 2 beta - gamma , alpha + beta - 2 gamma) = ( 0 , 0 , 0 )

Igualando as coordenadas:

{[[- beta - gamma = 0],[alpha + 2 beta - gamma = 0],[alpha + beta - 2 gamma = 0]])

Esse sistema possui soluções diferentes de 0, então, a outra tripla também é LD :D

Como as duas triplas de vetores são LD, temos pela observação do exercício anterior que os planos são paralelos, agora vamos ver se são distintos ou coincidentes hehe

Passo 3

Para vermos se os planos são distintos ou coincidentes, vamos ver se o ponto ( 1 , 0 , 0 ) do segundo plano pertence ao primeiro:

( 1 , 0 , 0 ) = (1 , 1 , 1) + lambda (0 , 1 , 1) + mu (- 1 , 2 , 1)

(1 , 0 , 0) = ( 1 - mu , 1 + lambda + 2 mu , 1 + lambda + mu )

Igualando as coordenadas:

{[[1 - mu = 1],[1 + lambda + 2 mu = 0],[1 + lambda + mu = 0]])

Da primeira equação, temos mu = 0 , substituindo na segunda:

1 + lambda = 0 -> lambda = - 1

Substituindo esses valores na terceira equação para conferir se o sistema é possível:

1 - 1 + 0 = 0

0 = 0

Ebaa, procede, então o ponto ( 1 , 0 , 0 ) pertence ao primeiro plano, e então, os planos são paralelos coincidentes, ou seja, são o mesmo plano ;)

Resposta

a) Paralelos coincidentes

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