Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 51b
Obter equações paramétricas das retas nos casos em que:
A reta passa pela origem, é ortogonal à reta e paralela ao plano .
Passo 1
Vamos lá, primeiro vamos ver como é o formato das equações paramétricas da reta:
Aqui temos que o ponto é um ponto que passa pela reta e um vetor direção da reta.
Aqui podemos achar o ponto bem simples, é só usar o ponto da origem , já que a reta passa por ele:
Passo 2
Agora precisamos então encontrar os valores , e do vetor diretor da reta, vamos encontrar usando as informações do plano e da reta .
O vetor diretor da reta é simultaneamente ortogonal ao vetor normal do plano e ao vetor diretor da reta , podemos então encontrar vetor da seguinte forma, calculado o produto vetorial entre o vetor normal de e o vetor diretor de :
Temos que o vetor normal é:
Falta encontrar o vetor diretor de , para encontrar vamos expressar a reta na forma de equações reduzidas da reta:
Onde o ponto é um ponto que passa pela reta, e o vetor é o vetor diretor.
Passo 3
Agora vamos pegar a expressão da reta e colocar e em função de :
Pronto, agora precisamos encontrar dois pontos da reta para encontrar o vetor diretor, vamos fazer e :
Para temos:
E para temos:
Temos então os pontos e , agora vamos encontrar o vetor diretor da seguinte forma:
Passo 4
Assim temos que e temos o ponto , vamos então colocar a reta na forma de equação reduzida:
Agora que temos o vetor diretor podemos calcular o produto vetorial, vamos lá:
Pronto, o vetor diretor da reta é:
Passo 5
Agora é só substituir na equação da reta:
Pronto, temos que a reta que passa pela origem e é ortogonal à reta e paralela ao plano é: