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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 49b

Dado o ponto P 5,2 , 3 e o plano π : 2 x + y + z - 3 = 0 , determinar:

A projeção ortogonal de P sobre o plano π ;

Passo 1

Vamos lá, primeiro temos que encontrar três pontos que pertençam ao plano π :

x = 0 → y + z - 3 = 0

y = 2 → 2 + z - 3 = 0 → z = 1

x = 0 → y + z - 3 = 0

y = 1 → 1 + z - 3 = 0 → z = 2

x = 2 → 2 ⋅ 2 + y + z - 3 = 0 → y + z = - 1

y = - 1 → - 1 + z = - 1 → z = 0

Assim temos os pontos A 0,2 , 1 , B 0,1 , 2 e C 2 , - 1,0 .

Temos também que um ponto Q a , b , c sendo a projeção ortogonal de P pertencente ao plano, devemos ter um vetor Q P → perpendicular aos vetores A B → e A C → pertencentes ao plano, dessa forma Q será a projeção ortogonal de P sobre π . Vamos então encontrar esses vetores.

Passo 2

Vamos calcular A B → e A C → :

A B → = B - A = 0,1 , 2 - 0,2 , 1 = 0 - 0,1 - 2,2 - 1 = 0 , - 1,1

A C → = C - A = 2 , - 1,0 - 0,2 , 1 = 2 - 0 , - 1 - 2,0 - 1 = 2 , - 3 , - 1

Agora vamos calcular o vetor Q P → :

Q P → = P - Q = 5,2 , 3 - a , b , c = 5 - a , 2 - b , 3 - c

Passo 3

Quando dizemos que o vetor Q P → perpendicular aos vetores A B → e A C → temos então que o produto escalar deles são iguais a zero, vamos então calcular esses produtos:

Q P → ⋅ A B → = 0 → 5 - a , 2 - b , 3 - c ⋅ 0 , - 1,1 = 0 →

→ 5 - a ⋅ 0 + 2 - b ⋅ - 1 + 3 - c ⋅ 1 = 0 → - 2 + b + 3 - c = 0 →

→ b - c = - 1

Q P → ⋅ A C → = 0 → 5 - a , 2 - b , 3 - c ⋅ 2 , - 3 , - 1 = 0 →

→ 5 - a ⋅ 2 + 2 - b ⋅ - 3 + 3 - c ⋅ - 1 = 0 → 10 - 2 a - 6 + 3 b - 3 + c = 0 →

→ - 2 a + 3 b + c = - 1

Agora vamos deixar as duas equações que encontramos em função de c :

b - c = - 1 → b = c - 1

- 2 a + 3 b + c = - 1 → - 2 a + 3 c - 1 + c = - 1 → - 2 a + 3 c - 3 + c = - 1 →

→ - 2 a + 4 c = 2 → - a + 2 c = 1 →

→ a = 2 c - 1

Vamos então substituir o que achamos no nosso ponto Q :

Q = a , b , c = 2 c - 1 , c - 1 , c

Passo 4

Mas veja bem, sabemos que Q pertence ao plano π , então vamos substituir esse ponto na equação do plano:

2 x + y + z - 3 = 0 → 2 2 c - 1 + c - 1 + c - 3 = 0 →

→ 4 c - 2 + c - 1 + c - 3 = 0 → 6 c - 6 = 0 → 6 c = 6 →

→ c = 1

Olhe bem, achamos o valor de c , agora podemos achar os valores de a e b , e encontramos o ponto Q :

a = 2 c - 1 = 2 ⋅ 1 - 1 = 2 - 1 = 1

b = c - 1 = 1 - 1 = 0

Agora substituindo no ponto Q :

Q = a , b , c = 2 c - 1 , c - 1 , c = 1,0 , 1

Pronto, temos que a projeção ortogonal de P sobre o plano π é o ponto Q 1,0 , 1 .

Resposta

Q = 1,0 , 1

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Em cada um dos casos abaixo, esboce o conjunto dos pontos cujas coordenadas x, y cumprem as condições especificadas: x y = 0
Esboce o conjunto x = { x , y ; y ≤ x ≤ 3 }
Em cada um dos casos abaixo, esboce o conjunto dos pontos cujas coordenadas x, y cumprem as condições especificadas: x - 3 = 1
Em cada um dos casos abaixo, esboce o conjunto dos pontos cujas coordenadas x, y cumprem as condições especificadas: 0 ≤ x ≤ y ≤ 1
Em cada um dos casos abaixo, esboce o conjunto dos pontos cujas coordenadas x, y cumprem as condições especificadas: x - 3 ≤ 1 o uy - 2 ≤ 5