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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 19

Seja T : V → V um operador linear. Sejam λ 1 , … , λ k seus autovalores distintos. Seja w i = N T - λ i I , para         i = 1 , … , k .

a) Mostre que T e diagonalizável se, e somente se,

V = w 1 ⊕ … ⊕ w k

b) Suponha que T seja diagonalizável. Para i = 1 , … , k , seja P i : V → V definida da seguinte forma. Seja V ∈ V . V se escreve de maneira unica como V = V 1 + … + V k , com V 1 ∈ w 1 , … , V k ∈ w k . Então, P i V = V i . Mostre que

i .   P i 2 = P i ,     P a r a     i = 1 , . . . , k

i i .   P 1 + … + p k

i i i .   P i P j = 0 ,   a   t r a n s f o r m a ç ã o   l i n e a r   n u l a ,   s e   i ≠ j

i v .   T = λ 1 p 1 + … + λ k P k

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja T : V → V um operador linear. Sejam λ 1 , … , λ k seus autovalores distintos. Seja w i = N T - λ i I , para         i = 1 , … , k .

a) Mostre que T e diagonalizável se, e somente se,

V = w 1 ⊕ … ⊕ w k

b) Suponha que T seja diagonalizável. Para i = 1 , … , k , seja P i : V → V definida da seguinte forma. Seja V ∈ V . V se escreve de maneira unica como V = V 1 + … + V k , com V 1 ∈ w 1 , … , V k ∈ w k . Então, P i V = V i . Mostre que

i .   P i 2 = P i ,     P a r a     i = 1 , . . . , k

i i .   P 1 + … + p k

i i i .   P i P j = 0 ,   a   t r a n s f o r m a ç ã o   l i n e a r   n u l a ,   s e   i ≠ j

i v .   T = λ 1 p 1 + … + λ k P k

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Na letra (a) para T diagonalizável, temos

V = w 1 ⊕ … ⊕ w k para,

V 1 + … + V k = 0 - com V i ∈ N ( T - λ i I )

Ficando,

V 1 1 , … , V k 1 1 , … , V 1 1 , … , V k j 1 - u m   c o n j u n t o   d e   L . I

Que aplicando o operador linear de um espaço de dimensão, ficando

T - λ i I V 1 + … + T - λ i I V i - 1 = 0 -

Na letra (b) para,

i .   P i 2 = P i ,     P a r a     i = 1 , . . . , k

i i .   P 1 + … + p k

i i i .   P i P j = 0 ,   a   t r a n s f o r m a ç ã o   l i n e a r   n u l a ,   s e   i ≠ j

i v .   T = λ 1 p 1 + … + λ k P k

Ficando,

w i ∩ w 1 + … + w i - 1 + w i + 1 + … + w k = { 0 - }

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) T - λ i I V 1 + … + T - λ i I V i - 1 = 0 -

b) w i ∩ w 1 + … + w i - 1 + w i + 1 + … + w k = { 0 - }

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Mostre que X = ( x , y ) é ortogonal a V = ( a , b ) ≠ 0 ̄ V com | | X | | = | | V | | se, e somente se, X = ( - b , a ) ou X = ( b , - a ) .
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