Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 1.5
Entre os operadores dos exercícios 2 a 8 da seção 6.3 verifique quais são diagonalizáveis.
Passo 1
Pra gente ver se o operador é diagonalizável, precisamos calcular os autovalores e autovetores dele. E aí, se a matriz do operador for de ordem e acharmos autovetores, então podemos dizer que o operador é diagonalizável, belezura?
Vamos começar escrevendo a matriz da transformação.Pra isso, a gente tem que pensar em como podemos associar o polinômio a um vetor. A melhor idéia é fazer assim:
E a base dos polinômios do segundo grau é:
Aí, como nossa transformação é linear, vamos substituir os valores dela ali:
Por isso, a matriz dessa transformação é:
Passo 2
Beleza, agora a gente teria que calcular os autovalores e os autovetores, mas vamos aproveitar o trabalho que já tivemos lá na seção . A gente já calculou tudo isso! Mas só pra relembrar, vamos ver o passo a passo de como faria. Primeiro a gente calcula o determinante de . Isso vai dar uma equação polinomial que tem os autovalores como raízes. Depois a gente substitui cada um deles na equação:
Com isso a gente vai encontrar os autovetores!
Nessa questão,
Pela regra de Sarrus:
Desenvolvendo, vamos encontrar:
E então, resolvendo, temos só dois autovalores!
Agora a gente substitui cada um e encontra o autovetor, mas vamos aproveitar que já temos a resposta lá da outra seção:
Passo 3
E então, pra concluir, nossa matriz é de ordem , e encontramos só autovetores distintos. Por isso, o operador não é diagonalizável!
Resposta
Não é diagonalizável.