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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 22

Seja p t = - 1 n ( t n + a n - 1 t n - 1 + … + a 0 ) o polinômio característico do operador linear T : V → V . Mostre que

(a) T e invertível se, e somente se, a 0 ≠ 0 .

(b) Se T e invertível, então

T - 1 = - 1 a 0 T n - 1 + a n - 1 T n - 2 + … + a 1 I

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja p t = - 1 n ( t n + a n - 1 t n - 1 + … + a 0 ) o polinômio característico do operador linear T : V → V . Mostre que

(a) T e invertível se, e somente se, a 0 ≠ 0 .

(b) Se T e invertível, então

T - 1 = - 1 a 0 T n - 1 + a n - 1 T n - 2 + … + a 1 I

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

p t = - 1 n ( t n + a n - 1 t n - 1 + … + a 0 )

Temos que na letra (a) para T invertível temos

w = [ v , t v , … , t k - 1 v ] sendo

t w B B = 0 0 ⋯ 0 a 0 1 0 ⋯ 0 a 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 a k - 1

Já na letra (b) para,

T - 1 = - 1 a 0 T n - 1 + a n - 1 T n - 2 + … + a 1 I

Temos que,

T - 1 = q k t p t + r k ( t )

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) t w B B = 0 0 ⋯ 0 a 0 1 0 ⋯ 0 a 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 a k - 1

b) T - 1 = q k t p t + r k ( t )

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