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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 19

Nos Problemas 19   a   22 , os pares de retas r 1 e r 2 são paralelas ou concorrentes. Encontrar uma equação geral do plano que as contém.

19)

r 1 :   y = 2 x - 3 z = - x + 2

r 2 :   x - 1 3 = z - 1 - 1 y = - 1

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Para equacionar um plano precisamos de duas coisas: um ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) e um vetor normal ( a , b , c ) , né? E daí a equação geral é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Sendo assim a ideia pra resolver essa questão é a seguinte: com os vetores diretores das duas retas fazer o produto vetorial e determinar um vetor normal. Esse será nosso vetor normal ao plano.

Com o vetor normal na mão é só escrever um ponto que pertença a essas retas e equacionar o plano!

Tranquilo? Vamos começar?

Passo 2

Começando pelos pontos. Vou pegar um ponto da reta r 1 . Resgatando a equação lá do enunciado temos:

r 1 :   y = 2 x - 3 z = - x + 2

Digamos que x = t , daí o conjunto de equações paramétricas dessa reta é:

r 1 x = t y = - 3 + 2 t z = 2 - t

E daí o vetor diretor dessa reta é v → = ( 1,2 , - 1 ) . Vou fazer a mesma coisa com a reta r 2 .

Do enunciado temos:

r 2 :   x - 1 3 = z - 1 - 1 y = - 1

Fazendo x = t temos:

t - 1 3 = z - 1 - 1

1 3 - t 3 = z - 1

z = 4 3 - t 3

Assim o conjunto de equações paramétricas é:

r 2 : x = t y = - 1 z = 4 3 - t 3

Assim o vetor diretor dessa reta é u → = 1,0 ,   - 1 3 .

Passo 3

Agora com os dois vetores o próximo passo é fazer o produto vetorial entre eles:

v → × u → = i ^ j ^ k ^ 1 2 - 1 1 0 - 1 3 = i ^ - 2 3 + 0 + j ^ - 1 + 1 3 + k ^ ( 0 - 2 )

= - 2 3 , - 2 3 , - 2

Passo 4

E o ponto? Bom, vamos aos poucos. Da reta r 2 temos que y = - 1 . Então substituindo em r 1 temos:

y = 2 x - 3

- 1 = 2 x - 3

- 1 + 3 = 2 x

2 = 2 x ∴ x = 1

E substituindo esse valor na expressão para z na r 1 temos:

z = - x + 2

z = - 1 + 2 = 1

Assim o ponto comum as duas retas é ( 1 , - 1,1 ) .

Passo 5

Agora juntando o vetor normal - 2 3 , - 2 3 , - 2   com o ponto A ( 1 , - 1,1 ) , podemos escrever uma equação geral pra esse plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

- 2 3 x - 1 - 2 3 y + 1 - 2 z - 1 = 0

- 2 3 x + 2 3 - 2 3 y - 2 3 - 2 z + 2 = 0

- 2 3 x - 2 3 y - 2 z + 2 = 0 × - 3 2

x + y + 3 z - 3 = 0

Assim a equação do plano é x + y + 3 z - 3 = 0 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

x + y + 3 z - 3 = 0

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