Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 8

No problema, é apresentado um subconjunto de . Verificar se é um subespaço vetorial do , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.

Passo 1

Galera, pensa aí, quais são as condições pra um subconjunto ser um subespaço? São só essas duas:

: Para quaisquer , ;

: Para quaisquer e , .

Traduzindo, se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.

Passo 2

Então bora, vamos pegar dois vetores e testar essas propriedades.

Para a soma:

Essa soma pertence ao subconjunto, já que atende .

Passo 3

Vamos pra multiplicação por escalar agora! Pega um vetor genérico .

Olha só que beleza, esse também atende o que a gente queria, a segunda componente é a primeira com sinal trocado também. Como atende às duas propriedades, ele é subespaço vetorial!

Resposta

é subespaço.

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1 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de Mnn.O conjunto de todas as matrizes (a, 0, 0) diagonais.

5 Quais dos seguintes são subespaços de R?.Todas as sequencias v em R da forma v=(v, 0, v, 0, v, 0, ...).

5 Quais dos seguintes são subespaços de R?.Todas as sequencias v em R da forma v=(v, 2v, 4v, 8v, 16v, ...).

2 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de Mnn.O conjunto de todas as matrizes n x n simétricas.

Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços de P3.b) Todos os polinômios a0+a1x+a2x2+a3x3 com a0+a1+a2+a3=0.