1 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de Mnn.

  1. O conjunto de todas as matrizes (a, 0, 0) diagonais.

Passo 1

Esse enunciado ta com um errinho de digitação galera, não era pra estar escrito: a ,   0 ,   0 . Era pra estar assim:

  1. O conjunto de todas as matrizes diagonais.

Sabendo disso, agora da pra resolver.

Passo 2

Precisamos verificar as duas condições do Teorema.

O teorema diz que:

Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V , então W é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.

(a) Se u e v forem vetores em W , então u + v está em W .

(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W , então a u está em W .

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição, tomando duas matrizes diagonais quaisquer desse conjunto:

u = u 11 0 … 0 0 u 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … u n n

e

v = v 11 0 … 0 0 v 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … v n n

Quando somamos eles:

u + v = u 11 0 … 0 0 u 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … u n n + v 11 0 … 0 0 v 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … v n n

u + v = u 11 + v 11 0 … 0 0 u 22 + v 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … u n n + v n n

Continuamos com uma matriz diagonal, ou seja, a primeira condição é válida.

Passo 4

Agora vamos verificar a segunda condição, tomando um vetor qualquer:

u = u 11 0 … 0 0 u 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … u n n

E um escalar qualquer: k

Multiplicando os dois teremos:

k u = k ⋅ u 11 0 … 0 0 u 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … u n n

k u = k u 11 0 … 0 0 k u 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … k u n n

Que continua sendo uma matriz diagonal, ou seja, a segunda condição também é válida.

Dessa maneira concluímos que o conjunto das matrizes diagonais formam um subespaço vetorial de M n n .

Resposta

É um subespaço vetorial de M n n .

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