Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 9
No problema, é apresentado um subconjunto de . Verificar se é um subespaço vetorial do , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
Passo 1
São duas propriedades que a gente precisa pra um subconjunto ser subespaço:
: Para quaisquer , ;
: Para quaisquer e , .
Ou seja, se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.
Passo 2
Então pega dois vetores genéricos de pra gente testar. Vamos pegar e . A soma deles é:
Opa, pera lá! Os elementos do nosso subespaço tem a segunda coordenada igual ao quadrado da primeira, mas esse aí não atende a isso!
Faltou esse termo aí! Então a gente vê de cara que o resultado da soma não está em , e então não vale a primeira propriedade. Daí, não é um subespaço.
Passo 3
Olha só um contraexemplo. Os vetores e estão em , certo? Mas o vetor soma deles...
Esse claramente não tá no subconjunto!
Resposta
Não é subespaço.