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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Parábola - Ex. 13

Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.

13) vértice: V ( 0 ,   0 ) ; foco: F ( 0 , - 3 )

Passo 1

Neste problema, precisamos construir o gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas, certo?

Parece muita coisa, mas é bem tranquilo. Primeiro, vamos encontrar a equação da parábola que respeite as condições dadas e para encerrar, vamos construir o nosso gráfico com o auxílio do software Geogebra. Notem que para o gráfico, precisamos conhecer o vértice, o foco e uma equação diretriz da parábola.

Então, vamos lá?

Passo 2

Antes de colocarmos a mão na massa, precisamos saber se o eixo da parábola é o eixo dos x ou y . Vamos fazer um resuminho.

Sabendo que V = ( h ,   k ) , onde V = ( 0 ,   0 ) :

- Se for o eixo dos y , a equação da parábola na forma reduzida é x 2 = 2 p y , o foco é dado por F h ,   p 2 e a equação da diretriz é dada por y = - p 2 .

- Se o eixo dos x , a equação da parábola na forma reduzida é y 2 = 2 p x , o foco é dado por F p 2 ,   k e a equação da diretriz é dado por x = - p 2 .

Passo 3

Pronto, já sabemos tudo que deveríamos! O bizu é pegar as condições dadas no enunciado e comparar com o nosso resumo, assim matamos a questão rapidinho. Sabemos que V ( 0 ,   0 ) , logo:

V h , k = V 0 ,   0 ⇒ h = k = 0

Já temos os valores de h e k . Agora, sabendo que foco: F 0 , - 3   podemos achar o valor de p :

F h ,   + p 2 = F 0 ,   - 3 ⇒ h = 0           p 2 = - 3     ⇒ p = - 6

Passo 4

Com o valor de p em mãos, fica fácil acharmos uma equação da diretriz e a equação da parábola.

A equação da diretriz vai ser dada por:

y = - p 2

y = - - 6 2 = 3

Já a equação da parábola vai ser dada por:

x 2 = 2 p y

x 2 = 2 - 6 y

x 2 = - 12 y

Passo 5

Por fim, com o auxílio do Geogebra, nós construímos o nosso gráfico:

Resposta

x 2 = - 12 y

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Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.12) foco: F ( 2 ,0 ) ; diretriz d : x + 2 = 0
Para cada uma das parábolas dos Problemas de 1 a 10, construir o gráfico e encontrar o foco e uma equação da diretriz.7) x 2 - 10 y = 0
Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.11) vértice: V ( 0 ,0 ) ; diretriz d : y = - 2
Para cada uma das parábolas dos Problemas de 1 a 10, construir o gráfico e encontrar o foco e uma equação da diretriz.6) y 2 + 3 x = 0
Para cada uma das parábolas dos Problemas de 1 a 10, construir o gráfico e encontrar o foco e uma equação da diretriz.5) y 2 - x = 0