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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Parábola - Ex. 11

Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.

11) vértice: V ( 0 ,   0 ) ; diretriz d : y = - 2

Passo 1

Neste problema, precisamos construir o gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas, certo?

Parece muita coisa, mas é bem tranquilo. Primeiro, vamos encontrar a equação da parábola que respeite as condições dadas e para encerrar, vamos construir o nosso gráfico com o auxílio do software Geogebra. Notem que para o gráfico, precisamos conhecer o vértice, o foco e uma equação diretriz da parábola.

Então, vamos lá?

Passo 2

Antes de colocarmos a mão na massa, precisamos saber se o eixo da parábola é o eixo dos x ou y . Vamos fazer um resuminho.

Sabendo que V = ( h ,   k ) :

- Se for o eixo dos y , a equação da parábola na forma reduzida é x 2 = 2 p y , o foco é dado por F h , p 2 e a equação da diretriz é dada por y = - p 2 .

- Se for o eixo dos x , a equação da parábola na forma padrão é y 2 = 2 p x , o foco é dado por F p 2 ,   k e a equação da diretriz é dado por x = - p 2 .

Passo 3

Pronto, já sabemos tudo que deveríamos! O bizu é pegar as condições dadas no enunciado e comparar com o nosso resumo, assim matamos a questão rapidinho. Sabemos que V ( 0 ,   0 ) , logo:

V h , k = V 0 ,   0 ⇒ h = k = 0

Já temos os valores de h e k . Agora, sabendo que diretriz d : y = - 2 , podemos achar o valor de p :

y = - p 2 ⇒ y = - p 2

- 2 = - p 2  

- p = - 4 . ( - 1 )

p = 4

Passo 4

Com o valor de p em mãos, fica fácil acharmos o foco e a equação da parábola.

O foco vai ser dado por:

F h , p 2 ⇒ F 0 ,   p 2

F 0 , 4 2 ⇒ F = ( 0 ,   2 )

Já a equação da parábola vai ser dada por:

x 2 = 2 p y

x 2 = 2 4 y

x 2 = 8 y

Passo 5

Por fim, com o auxílio do Geogebra, nós construímos o nosso gráfico:

Resposta

x 2 = 8 y

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