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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Parábola - Ex. 37

Nos problemas de 37 a 39, encontrar a equação explícita da parábola que satisfaça as condições:

37. eixo de simetria paralelo ao eixo dos y e passando pelos pontos A(-2,0), B(0,4) e C(4,0).

Passo 1

Bem.. como o eixo de simetria é paralelo ao eixo dos y , então vamos ter uma equação reduzida com a seguinte cara:

x ' 2 = 2 p y '

Onde:

x ' = x - h

y ' = y - k

Então ficamos com:

x - h 2 = 2 p ( y - k )

Passo 2

Agora não tem muito mistério... é só substituir os pontos:

- 2 - h 2 = 2 p 0 - k           i

0 - h 2 = 2 p 4 - k           i i

4 - h 2 = 2 p 0 - k           i i i

A gente pode igualar as equações i e i i i ...

- 2 - h 2 = 4 - h 2

ATENÇÃOO.. se a gente cortar o “quadrado” não vai dar certo, né... (vamos chegar em: - 2 = 4 que não é verdade, né...) então precisamos passar tudo pra um lado só:

- 2 - h 2 - 4 - h 2 = 0

E fazendo a diferença de quadrados:

- 2 - h + 4 - h - 2 - h - 4 + h = 0

Então:

- 2 - h + 4 - h = 0

h = 1

Passo 3

Substituindo esse h em i e i i :

- 2 - 1 2 = 2 p 0 - k → 9 = - 2 p k

- 1 2 = 2 p 4 - k → 1 = 2 p 4 - k

Isolando p na primeira:

p = - 9 2 k

Substituindo na segunda:

1 = 2 - 9 2 k 4 - k

k = 9 2

Passo 4

E substituindo h   e k em qualquer uma das três equações: (vou substituir em i )

- 2 - 1 2 = 2 p 0 - 9 2

p = - 1

Então a equação fica:

x - 1 2 = 2 - 1 y - 9 2

x 2 - 2 x + 1 = - 2 y + 9

E a forma explícita fica:

y = - x 2 2 + x + 4

Resposta

y = - x 2 2 + x + 4

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