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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Elipse - Ex. 42

Nos problemas de 40 a 43, obter uma equação geral da elipse dada por equações paramétricas.

x = 2 + 4 cos ⁡ θ y = 3 + 2 . s e n θ

Passo 1

Se tivermos uma elipse de equações paramétricas

x = h + c . c o s θ y = k + d . sen ⁡ θ

Onde c e d representam os parâmetros a e b , lembrando que a > b .

Sua equação reduzida será

x - h 2 c ² + y - k 2 d ² = 1

E aí desenvolvemos sua equação reduzida para encontrar sua equação geral ok?

Passo 2

As equações paramétricas da nossa elipse são

x = 2 + 4 cos ⁡ θ y = 3 + 2 . s e n θ

Então, sua equação reduzida é

x - 2 2 4 ² + y - 3 2 2 ² = 1

( x - 2 ) 2 16 + ( y - 3 ) 2 4 = 1

( x - 2 ) 2 16 + 4 ( y - 3 ) 2 16 = 1

x - 2 2 + 4 y - 3 2 = 16

Desenvolvendo os produtos notáveis:

x 2 - 4 x + 4 + 4 . y 2 - 6 y + 9 = 16

x 2 - 4 x + 4 + 4 y 2 - 24 y + 36 = 16

Logo, a equação geral é

x 2 - 4 x + 4 y 2 - 24 y + 2 4 = 0

Resposta

x 2 - 2 x + 4 y 2 - 24 y + 21 = 0

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