Prove, em cada caso, que a equação dada descreve uma quádrica cônica.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(a) Aqui o nosso problema é só uma confusão entre as variáveis , e .

A gente precisa que o esteja no lugar do , então vamos fazer uma rotação como essa aqui:

Então nesse caso o que aconteceu com os eixos foi:

Substituindo isso na equação:

Então:

Agora chegamos na forma geral do enunciado.

(b) Agora olhando para a segunda expressão:

Temos que trocar por , então vamos fazer o seguinte:

Ou seja, a transformação é:

Substituindo na equação:

Então:

Que é a forma reduzida que vimos lá em cima.

(c) Para a terceira equação:

Só precisamos fazer uma translação de coordenadas:

Que é só uma forma de “deslocar” a origem do nosso sistema de coordenadas, e nós podemos fazer isso livremente.

Substituindo na equação:

Que á a forma reduzida mais uma vez.

(d) Para a quarta equação:

Aqui primeiro vamos fazer uma translação igual a do passo anterior:

E agora fazemos uma rotação igual a do item (a):

Então:

Que é a forma reduzida!

(e) Por último, a equação é

Vamos fazer a translação de novo:

Para encontrar:

E agora vamos fazer a mesma rotação do item

Então:

Então essa também é uma quádrica cônica.