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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.1 - Ex. 21

Prove: se A for uma matriz n × n qualquer, então A   pode ser fatorada como P L U , em que L é triangular inferior, U é triangular superior e P pode ser obtida por trocas de linhas apropriadas de I n . (Sugestão: considere a forma escalonada por linhas de U de A e efetue todas as trocas de linhas requeridas para reduzir A a U antes.)

Passo 1

Se temos   A que tem dimensões n × n indo até uma linha i e uma coluna j .

A = x i j x i j + 1 ⋯ x i + 1 j x i + 1 j ⋯ ⋮ ⋮ ⋱

Temos que zerar a primeira coluna, logo vamos encontrar os multiplicadores:

x i j α + x i + 1 j = 0 → α = - x i + 1 j x i j

Vamos zerar agora a Linha 2 (L2)

L 1 - L 2

x i j x i j + 1 ⋯ x i + 1 j x i + 1 j ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ - x i + 1 j x i j ∼   x i j x i j + 1 ⋯ 0 x i + 1 j - x i + 1 j x i j ⋯ ⋮ ⋮ ⋱

Assim encontramos nossa U !

Passo 2

Vamos fazer todas as trocas possíveis de P em uma matriz 3 × 3

L 1   e   L 2 ;   L 1   e   L 3 ;   L 2   e   L 3

0 1 0 1 0 0 0 0 1 ;   0 0 1 0 1 0 1 0 0 ;   1 0 0 0 0 1 0 1 0

E uma matriz 4 × 4

L 1   e   L 2

L 1   e   L 3

L 1   e   L 4

L 2   e   L 3

L 2   e   L 4

L 3   e   L 4

Então percebemos que se trata de um arranjo, assim de forma genérica P pode assumir tantos valores:

A n , 2 = n ! n - 2 !   .   2 ! =   n n - 1 ( n - 2 ) ! n - 2 !   .   2 ! =   n n - 1 2

Passo 3

L será:

1 0 ⋯ x i + 1 j 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱    

Assim, colocando no sistema

1 0 ⋯ x i + 1 j 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ x i j x i j + 1 ⋯ 0 x i + 1 j - x i + 1 j x i j ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ = x i j x i j + 1 ⋯ x i + 1 j x i + 1 j ⋯ ⋮ ⋮ ⋱

Tratando-se de uma verdade, e lembrando que P pode assumir n n - 1 2 , A   também assumirá n n - 1 2   matrizes!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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