Nos Exercícios 12-13, encontre a decomposição LDU de A

A = 2   2   4   1  

Passo 1

Vamos lembrar que a fatoração LU possui duas matrizes:

- L: é uma matriz triangular inferior e possui a diagonal principal com o número 1

- D: é a matriz diagonal

- U: é uma matriz triangular superior e possui diagonal principal com o número 1

Tá, mais ainda não conseguiu enxergar? Se lembre o que o triângulo são os números, e não o zero! Vejamos um exemplo:

L = 1   0   x 21   1   ; D = x 11   0   0   x 22     e     U =   1   x 12   0   1  

Lembrando que x 11 ,   x 12 ,   x 21 ,   x 22 podem ser quaisquer números!

Passo 2

Nossa matriz é:

2   2   4   1  

Temos que fazer o escalonamento para descobrir qual seria o D, assim:

2   2   4   1   ( - 2 )     ∼ 2   2   0   - 3     × 2 / 3   ∼ 2   0   0   - 3  

Passo 3

Para saber o L, temos que fazer a equação LD:

1   0   x 21   1   2   0   0   - 3   = 2   2   4   1  

Assim:

L = 1   0   2   1    

Passo 4

Para saber o U, temos que fazer a equação DU:

2   0   0   - 3   1   x 12   0   1   =   2   2   4   1  

Logo

U = 1   1   0   1  

Passo 5

Para verificar se as equações estão corretas, podemos multiplica-las:

1   0   2   1     2   0   0   - 3   1   1   0   1   = 2   2   4   1    

  2   0   4   - 3   1   1   0   1   = 2   2   4   1  

2   2   4   1   = 2   2   4   1  

Resposta

L = 1   0   2   1    

D = 2   0   0   - 3  

U = 1   1   0   1  

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