Seja A x = b um sistema linear de n equações em n icognitas e suponha que A seja uma matriz invertível que pode se reduzida à forma escalonada por linhas sem troca de linhas. Quantas adições e multiplicações adicionais são exigidas para resolver o sistema pelo método do Exemplo 1?

Passo 1

O exercício pede que fazemos a decomposição L U , só em palavras difíceis, pois está usando uma das suas definições, depois temos que comparar a quantidade de somas e subtrações de L U em relação ao Exemplo1

Se temos   A de dimensões n × n indo até uma linha i e uma coluna j .

A = x i j x i j + 1 ⋯ x i + 1 j x i + 1 ( j + 1 ) ⋯ ⋮ ⋮ ⋱

Temos que zerar a primeira coluna, logo vamos encontrar os multiplicadores:

x i j α + x i + 1 j = 0 → α = - x i + 1 j x i j

Vamos zerar agora a Linha 2 (L2)

L 1 - L 2

x i j x i j + 1 ⋯ x i + 1 j x i + 1 j ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ - x i + 1 j x i j ∼   x i j x i j + 1 ⋯ 0 x i + 1 j - x i + 1 j x i j ⋯ ⋮ ⋮ ⋱

Assim encontramos nossa U ! Fizemos uma multiplicação e uma soma para U

Passo 2

L será:

1 0 ⋯ x i + 1 j 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱    

Assim, colocando no sistema

L U = A

1 0 ⋯ x i + 1 j 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ x i j x i j + 1 ⋯ 0 x i + 1 j - x i + 1 j x i j ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ = x i j x i j + 1 ⋯ x i + 1 j x i + 1 j ⋯ ⋮ ⋮ ⋱

Assim, fazemos uma multiplicação para descobrir L

Passo 3

Fazendo o Exemplo 1, ou seja, começamos a fatorar A por cima

x i j x i j + 1 ⋯ x i + 1 j x i + 1 ( j + 1 ) ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ - x i ( j + 1 ) x i + 1 ( j + 1 ) ∼ x i j - x i ( j + 1 ) x i + 1 j x i + 1 ( j + 1 ) 0 ⋯ x i + 1 j x i + 1 ( j + 1 ) ⋯ ⋮ ⋮ ⋱

substituímos por L U

x i j - x i ( j + 1 ) x i + 1 j x i + 1 ( j + 1 ) 0 ⋯ x i + 1 j x i + 1 ( j + 1 ) ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ . 1 x i j + 1 ⋯ 0 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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