22. Prove a generalização do Teorema 6.2.3 a seguir. Se v → 1 ,   v → 2 , … ,   v → r forem vetores dois a dois ortogonais de um espaço com produto interno V , então

v → 1 + v → 2 + … + v → r = v → 1 2 + v → 2 2 + … + v → r 2

Passo 1

Vamos fazer o produto interno:

v → 1 + v → 2 + … + v → r ⋅ v → 1 + v → 2 + … + v → r = v → 1 ⋅ v → 1 + v → 2 + … + v → r + v → 2 ⋅ v → 1 + v → 2 + … + v → r

+ … + v → r ⋅ ( v → 1 + v → 2 + … + v → r )

v → 1 + v → 2 + … + v → r ⋅ v → 1 + v → 2 + … + v → r = v → 1 ⋅ v → 1 + v → 1 ⋅ v → 2 + … + v → 1 ⋅ v → r + v → 2 ⋅ v → 1 + v → 2 ⋅ v → 2 + … + v → 2 ⋅ v → r

+ … + v → r ⋅ v → 1 + v → r ⋅ v → 2 + … + v → r ⋅ v → r

Como os vetores são ortogonais dois a dois, então todos os produtos internos que forem entre vetores com o númerozinho diferente vai dar zero...

v → 1 + v → 2 + … + v → r ⋅ v → 1 + v → 2 + … + v → r = v → 1 ⋅ v → 1 + 0 + … + 0 + 0 + v → 2 ⋅ v → 2 + … + 0

+ … + 0 + 0 + … + v → r ⋅ v → r

Sobrando só:

v → 1 + v → 2 + … + v → r ⋅ v → 1 + v → 2 + … + v → r = v → 1 ⋅ v → 1 + v → 2 ⋅ v → 2 + … + v → r ⋅ v → r

E isso é só a norma de cada vetor ao quadrado, ne:

v → 1 + v → 2 + … + v → r 2 = v → 1 2 + v → 2 2 + … + v → r 2

Como queríamos demonstrar.

Resposta

v → 1 + v → 2 + … + v → r = v → 1 2 + v → 2 2 + … + v → r 2

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