17. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se u e v forem vetores unitários ortogonais em V , então u - v = 2 . Passo 1Vamos chamar: U = x 1 , y 1 V = x 2 , y 2 Para serem unitários: u = U U u = x 1 x 1 2 + y 1 2 , y 1 x 1 2 + y 1 2 v = V V v = x 2 x 2 2 + y 2 2 , y 2 x 2 2 + y 2 2 Para serem ortogonais: u ⋅ v = 0 x 1 x 1 2 + y 1 2 x 2 x 2 2 + y 2 2 + y 1 x 1 2 + y 1 2 y 2 x 2 2 + y 2 2 = 0 Passo 2Agora vamos fazer a parte do enunciado: u - v = x 1 x 1 2 + y 1 2 - x 2 x 2 2 + y 2 2 , y 1 x 1 2 + y 1 2 - y 2 x 2 2 + y 2 2 Calculando a norma desse vetor (a gente que lute): u - v = x 1 x 1 2 + y 1 2 - x 2 x 2 2 + y 2 2 2 + y 1 x 1 2 + y 1 2 - y 2 x 2 2 + y 2 2 2 = x 1 x 1 2 + y 1 2 - x 2 x 2 2 + y 2 2 2 + y 1 x 1 2 + y 1 2 - y 2 x 2 2 + y 2 2 2 = x 1 2 x 1 2 + y 1 2 - 2 x 1 x 1 2 + y 1 2 x 2 x 2 2 + y 2 2 + x 2 2 x 2 2 + y 2 2 + y 1 2 x 1 2 + y 1 2 - 2 y 1 x 1 2 + y 1 2 y 2 x 2 2 + y 2 2 + y 2 2 x 2 2 + y 2 2 = x 1 2 x 1 2 + y 1 2 - 2 x 1 x 1 2 + y 1 2 x 2 x 2 2 + y 2 2 + x 2 2 x 2 2 + y 2 2 + y 1 2 x 1 2 + y 1 2 - 2 y 1 x 1 2 + y 1 2 y 2 x 2 2 + y 2 2 + y 2 2 x 2 2 + y 2 2 = x 1 2 + y 1 2 x 1 2 + y 1 2 - 2 x 1 x 1 2 + y 1 2 x 2 x 2 2 + y 2 2 + y 1 x 1 2 + y 1 2 y 2 x 2 2 + y 2 2 + x 2 2 + y 2 2 x 2 2 + y 2 2 Simplificando e reparando que o que tem depois do -2 é o produto interno, então: = 1 - 2 0 + 1 = 2 Portanto, u - v = 2 Como queríamos demonstrar. Resposta u - v = 2 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros Relacionados23. Prove: se u e v forem matrizes n × 1 e A uma matriz n × n , então v T A T A u 2 ≤ u T A T A u v T A T A v30. (Requer Cálculo) Suponha que C [ 0 , π ] tenho o produto interno f , g = ∫ 0 π f x g xd x E seja f n = cos n xn = 0,1 , 2 , … . Mostre que se k ≠ l , então f k e f l são vetores ortogonais.Seja A x = 0 um sistema de m equações e n incógnitas. Mostre que x = x 1 x 2 ⋮ x n É uma solução do sistema se, e só se, o vetor x =( x 1 , x 2 , … , x n ) é ortogonal a cada vetor linha de A em relaçExiste algum produto interno euclidiano ponderado em R 3 no qual os vetores ( 1,2 ) e ( 3 , - 1 ) formem um conjunto ortonormal? Justifique sua resposta.Suponha que R 3 tenha o produto interno euclidiano. Encontre dois vetores de comprimento 1 que sejam ortogonais a cada um dos três vetores u 1 = 1,1 , - 1 ,u 2 = - 2 , - 1,2 e u 3 = - 1,0 , 1 .Ver TambémVer Livro Anton - Álgebra LinearVer tudo sobre Produto InternoLista de exercícios de Complemento OrtogonalVer exercício 4.7 - 11Ver exercício 4.8 - 20