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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 17

17. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se u e v forem vetores unitários ortogonais em V , então u - v = 2 .

Passo 1

Vamos chamar:

U = x 1 , y 1

V = x 2 , y 2

Para serem unitários:

u = U U

u = x 1 x 1 2 + y 1 2 , y 1 x 1 2 + y 1 2

v = V V

v = x 2 x 2 2 + y 2 2 , y 2 x 2 2 + y 2 2

Para serem ortogonais:

u ⋅ v = 0

x 1 x 1 2 + y 1 2 x 2 x 2 2 + y 2 2 + y 1 x 1 2 + y 1 2 y 2 x 2 2 + y 2 2 = 0

Passo 2

Agora vamos fazer a parte do enunciado:

u - v = x 1 x 1 2 + y 1 2 - x 2 x 2 2 + y 2 2 ,   y 1 x 1 2 + y 1 2 - y 2 x 2 2 + y 2 2

Calculando a norma desse vetor (a gente que lute):

u - v = x 1 x 1 2 + y 1 2 - x 2 x 2 2 + y 2 2 2 + y 1 x 1 2 + y 1 2 - y 2 x 2 2 + y 2 2 2

= x 1 x 1 2 + y 1 2 - x 2 x 2 2 + y 2 2 2 + y 1 x 1 2 + y 1 2 - y 2 x 2 2 + y 2 2 2

= x 1 2 x 1 2 + y 1 2 - 2 x 1 x 1 2 + y 1 2 x 2 x 2 2 + y 2 2 + x 2 2 x 2 2 + y 2 2 + y 1 2 x 1 2 + y 1 2 - 2 y 1 x 1 2 + y 1 2 y 2 x 2 2 + y 2 2 + y 2 2 x 2 2 + y 2 2

= x 1 2 x 1 2 + y 1 2 - 2 x 1 x 1 2 + y 1 2 x 2 x 2 2 + y 2 2 + x 2 2 x 2 2 + y 2 2 + y 1 2 x 1 2 + y 1 2 - 2 y 1 x 1 2 + y 1 2 y 2 x 2 2 + y 2 2 + y 2 2 x 2 2 + y 2 2

= x 1 2 + y 1 2 x 1 2 + y 1 2 - 2 x 1 x 1 2 + y 1 2 x 2 x 2 2 + y 2 2 + y 1 x 1 2 + y 1 2 y 2 x 2 2 + y 2 2 + x 2 2 + y 2 2 x 2 2 + y 2 2

Simplificando e reparando que o que tem depois do -2 é o produto interno, então:

= 1 - 2 0 + 1

= 2

Portanto,

u - v = 2

Como queríamos demonstrar.

Resposta

u - v = 2

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