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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 25

25. Prove: se w 1 , w 2 , … ,   w n forem números reais positivos e se u = ( u 1 , u 2 , … , u n ) e v = ( v 1 , v 2 , … , v n ) forem dois vetores quaisquer em R n , então

w 1 u 1 v 1 + w 2 u 2 v 2 + … + w n u n v n ≤ w 1 u 1 2 + w 2 u 2 2 + … + w n u n 2 1 2 w 1 v 2 2 + w 2 v 2 2 + … + w n v n 2 1 2

Passo 1

Ai ai... mais um mágica, mas juro que a culpa não é minha.... é um pouco intuitiva... Vamos aos poucos... a razão de manipularmos tudo isso é pra aplicar a desigualdade de Cauchy... que tem uma estrutura bem semelhante, ne....

u , v ≤ u v

Se fizermos vetores:

u ' = w 1 u 1 , w 2 v 2 , … ,   w n u n

v ' = w 1 v 1 , w 2 v 2 , … , w n v n

Vamos fazer o produto interno

u ' , v ' = w 1 2 u 1 v 1 + w 2 2 u 2 v 2 + … + w n 2 u n v n

Hummmmmm.... foi quase, heim... mas não deu certo....

Passo 2

AHHHHH... e se fizermos os vetores, então:

u ' ' = w 1 u 1 , w 2 v 2 , … ,   w n u n

v ' ' = w 1 v 1 , w 2 v 2 , … , w n v n

Fazendo o produto interno:

u ' ' , v ' ' = w 1 2 u 1 v 1 + w 2 2 u 2 v 2 + … + w n 2 u n v n

u ' ' , v ' ' = w 1 u 1 v 1 + w 2 u 2 v 2 + … + w n u n v n

Agora sim, heim...

Passo 3

E agora calculando a norma de cada vetor:

u ' ' = w 1 2 u 1 2 + w 2 2 u 2 2 + … + w n 2 u n 2

u ' ' = w 1 u 1 2 + w 2 u 2 2 + … + w n u n 2

u ' ' = w 1 u 1 2 + w 2 u 2 2 + … + w n u n 2 1 2

v ' ' = w 1 2 v 1 2 + w 2 2 v 2 2 + … + w n 2 v n 2

v ' ' = w 1 v 1 2 + w 2 v 2 2 + … + w n v n 2

v ' ' = w 1 v 1 2 + w 2 v 2 2 + … + w n v n 2 1 2

Usando a desigualdade de CauSUhadhAUH:

u ' ' , v ' ' ≤ u ' ' v ' '

Então:

w 1 u 1 v 1 + w 2 u 2 v 2 + … + w n u n v n ≤ w 1 u 1 2 + w 2 u 2 2 + … + w n u n 2 1 2 w 1 v 2 2 + w 2 v 2 2 + … + w n v n 2 1 2

Como queríamos demonstrar.

Resposta

w 1 u 1 v 1 + w 2 u 2 v 2 + … + w n u n v n ≤ w 1 u 1 2 + w 2 u 2 2 + … + w n u n 2 1 2 w 1 v 2 2 + w 2 v 2 2 + … + w n v n 2 1 2

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