29. (Requer Cálculo) Sejam e funções contínuas em . Prove:
(a)
(b)
Passo 1
Olhando o exemplo 10 da seção 6.1, a gente vê que o produto interno:
E o exemplo 11, a gente vê que a norma:
Passo 2
(a) Usando a desigualdade de Cauchy:
Elevando os dois lados ao quadado
Então:
Como queríamos demonstrar.
Passo 3
(b) Vamos agora fazer o produto interno:
Usando a desigualdade de Cauchy:
Calculando a norma:
Subistuindo na desigualdade:
Resposta
Demonstração