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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 29

29. (Requer Cálculo) Sejam f ( x ) e g ( x ) funções contínuas em [ 0,1 ] . Prove:

(a) ∫ 0 1 f x g x   d x 2 ≤ ∫ 0 1 f 2 x   d x ∫ 0 1 g 2 x   d x

(b) ∫ 0 1 f x + g x 2 d x 1 2 ≤ ∫ 0 1 f 2 x   d x 1 2 + ∫ 0 1 g 2 x   d x 1 2

Passo 1

Olhando o exemplo 10 da seção 6.1, a gente vê que o produto interno:

f , g = ∫ 0 1 f x g x d x

E o exemplo 11, a gente vê que a norma:

f = f , f 1 2

f = ∫ 0 1 f 2 x d x 1 2

Passo 2

(a) Usando a desigualdade de Cauchy:

f , g ≤ f g

Elevando os dois lados ao quadado

f , g 2 ≤ f 2 g 2

Então:

∫ 0 1 f x g x d x 2 ≤ ∫ 0 1 f 2 x d x 1 2 2 ∫ 0 1 g 2 x d x 1 2 2

∫ 0 1 f x g x   d x 2 ≤ ∫ 0 1 f 2 x   d x ∫ 0 1 g 2 x   d x

Como queríamos demonstrar.

Passo 3

(b) Vamos agora fazer o produto interno:

f + g , f + g = ∫ 0 1 f x + g x 2 d x

Usando a desigualdade de Cauchy:

f + g , f + g ≤ f + g f + g

Calculando a norma:

f + g = ∫ 0 1 f 2 x + 2 f x g x + g 2 x d x 1 2  

Subistuindo na desigualdade:

∫ 0 1 f x + g x 2 d x 1 2   ≤ ∫ 0 1 f 2 x + 2 f x g x + g 2 x d x 1 2 ∫ 0 1 f 2 x + 2 f x g x + g 2 x d x 1 2

Resposta

Demonstração

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