Exercícios de Complemento Ortogonal - Lista de Exercícios Resolvida

Foi pedido a Carolzinha que provasse a proposição:

“Se são ortogonais a , então , sendo é base de ”

Assim Carolzinha deu a seguinte resposta:

“Devemos primeiramente construir a base de . E assim, é uma possível base de . Assim, vamos fazer o seguinte:

Usando as propriedades do produto interno:

E assim, aplicando a hipótese, vamos ter em todos os casos . E assim, como , é verdade que ”

Sabendo que Carolzinha está errada, qual foi o erro de Carolzinha?

Determine uma base de , onde

é a reta em dada por

é o plano em dado por

Sabendo que , represente como um espaço gerado.

b) Considere no o usual. Determine uma base para seu subspaço cujo complemento ortogonal é

À questão “Seja . Calcule a projeção ortogonal de em .”, Bruninha deu a seguinte solução:

Seja um subespaço vetorial de . Defina “complemento ortogonal de ”.

À questão “Seja . Calcule a projeção ortogonal de em .”, Bruninha deu a seguinte solução:

Mostre que . Explique por que Bruninha não deveria esperar que seu cálculo de resultasse no vetor nulo (e portanto sua solução está errada).

À questão “Seja . Calcule a projeção ortogonal de em .”, Bruninha deu a seguinte solução:

O que Bruninha fez de errado?

À questão “Calcule as coordenadas do vetor na base ortogonal

De .” Joãozinho respondeu:

Joãozinho está errado, pois . Indique qual foi o erro que Joãozinho cometeu e explique a sua afirmação.

Enuncie a definição de complemento ortogonal de um subespaço vetorial de .

Sejam e subespaços vetoriais do tais que é ortogonal a . Assinale a alternativa correta:

a)

b)

c)

d)

e) Não sei

Sejam e subespaços vetoriais de tais que é ortogonal a . Assinale a alternativa correta:

1. .
2. .
3. .
4. .

Considere no espaço vetorial (isto é, os polinômios de grau ) o produto interno dado por . O complemento ortogonal de é:

O espaço gerador por

O espaço gerador por

O espaço gerador por

O espaço gerador por

Se é um vetor unitário ortogonal ao espaço gerado pelos vetores e a soma dos módulos das components de é:

(a)

(b)

(c

(d)

(a) Considere o produto interno em definido por

onde

Considere o subespaço vetorial de

Determine uma base do seu complemento ortogonal .

(b) Considere o subespaço vetorial

Encontre um produto interno em tal que o complemento ortogonal de seja

Seja o espaço gerado por , e Se pertence ao complemento ortogonal de então x vale:

(a) -2

(b) -3

(c) -4

(d) -5

Seja , exiba um vetor que satisfaça .

Considere o espaço com o seu produto interno usual:

Seja um subespaço de .

Determine uma base para , o complemento ortogonal de .

Seja o espaço vetorial das matrizes dois por dois com produto interno:

Consideremos

(a) Determine (complemento ortogonal de W)

(b) Seja o operador projeção ortogonal em W. Determine

Considere no o produto interno usual. Seja o subespaço .

1. Determine uma base para é (complemento ortogonal de ).

Calcule um vetor que pertence ao complemento ortogonal do conjunto

Calcule a dimensão do complemento ortogonal da imagem da matriz :

3. 0
4. 3

02) Considere o espaço vetorial munido do produto interno definido por:

para quaisquer Se for o subespaço vetorial de dado por:

Então será igual a:

a) ;

b)

c)

d)

e)

Considere o espaço munido do produto interno usual. Defina o subespaço vetorial gerado pelo vetor . O seguinte conjunto é uma base para :

Considere o produto interno em

E seja . Em relação a esse produto interno.

1. Determine uma base ortogonal para .
2. Determine uma base para .

Seja o conjunto de vetores da reta , com e :

1. é o complemento ortogonal do espaço gerado pelo vetor
2. Os vetores de são paralelos ao vetor

é verdadeira e é falsa

Ambas são falsas

é falsa e é verdadeira

Ambas são verdadeiras

Considere o conjunto de polinômios de grau , , dotado do produto interno . Seja . Assinale o conjunto que não está completamente contido em .

Seja subespaço vetorial de . Considere o conjunto

l

dito complemento ortogonal de em .

1. Mostre que é um subespaço vetorial de .
2. Mostre que .
3. Assuma que Sabendo que , determine os valores de e .

Seja um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno e seja um subespaço de que satisfaz e . Considere as seguintes afirmações sobre o operador linear , definido por , para todo :

1. é simétrico.
2. é diagonalizável, mas não existe base ortonormal de na qual a matriz de é diagonal.
3. Os autovalores de são e .

Está correto o que se afirma em:

Escolha uma opção:

1. 2
2. 1
3. 2 e 3
4. 1 e 3
5. 3