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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 16

Prove que o lugar geométrico dos pontos do espaço que equidistam de dois pontos distintos A = ( x 1 , y 1 , z 1 ) e B = ( x 2 , y 2 , z 2 ) é um plano que passa pelo ponto médio do segmento AB e é perpendicular a ele. Esse plano é chamado de plano mediador do segmento AB

Passo 1

Falaaa aeee, blz?

O enunciado nos diz que o plano mediador é aquele que passa pelo ponto médio do segmento AB e é perpendicular ao vetor   A B → . Portanto, para o plano π ser esse plano mediador ele tem que atender a condição:

M P → . A B → = 0

Sendo P = ( x , y , z ) um ponto qualquer.

Sendo M = ( x 2 - x 1 2 , y 2 - y 1 2 , z 2 - z 1 2 ) o ponto médio.

Logo, os vetores M P →   e   A B → valem:

A B → = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) .

M P → = ( x - x 2 - x 1 2 , y - y 2 - y 1 2 , z - z 2 - z 1 2 )

Passo 2

Vamos verificar se a igualdade é verdadeira:

M P → . A B → = d e t x - x 2 - x 1 2 y - y 2 - y 1 2 z - z 2 - z 1 2 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 i   j k = 0

x - x 2 - x 1 2 y 2 - y 1 k + y - y 2 - y 1 2 z 2 - z 1 i + z - z 2 - z 1 2 x 2 - x 1 j - [ z - z 2 - z 1 2 y 2 - y 1 i + x - x 2 - x 1 2 z 2 - z 1 j + y - y 2 - y 1 2 x 2 - x 1 k = 0

Resolvendo essa linda equação acima, iremos achar 0 = 0 . Ou seja, o lugar geométrico dos pontos do espaço que equidistam de dois pontos distintos é o nosso plano π, plano mediador.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

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