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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 29.Problemas - Ex. 14

O plano Π tem a seguinte propriedade: se P ,   Q   ∈   Π   e   O P →   +   O Q →   =   O R → então R   ∈   Π . Prove que Π contém a origem O .

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos entendendo o problema, essa relação O P →   +   O Q →   =   O R → nada mais é do que a relação de equivalência.

Então vamos lá prova-la!

Seja O a origem e sejam P ,   Q ,   R ’ quaisquer três pontos em um plano.

Vamos denotar esta relação por R   =   { ( P ,   Q ) :   O P   =   O Q } pois O é a origem.

Agora ( P ,   P )   ∈   R   d e s d e   O P   =   O P para qualquer ponto   P .

Portanto, a relação é uma relação reflexiva.

Novamente esta relação é simétrica como se ( P ,   Q )   ∈   R   ⇒   ( Q ,   P )   ∈   R

Como O P   =   O P   ⇒   O Q   =   O P para todo P ,   Q .

Além disso, esta relação é transitiva como se ( P ,   Q )   ∈   R ,   ( Q ,   S )   ∈   R   ⇒   ( P ,   S )   ∈   R

Como O P   =   O Q ,   O Q   =   O S   ⇒   O P   =   O S para todos os P ,   Q ,   S .

A relação R   =   { ( P ,   Q ) :   O P   =   O Q } é uma relação de equivalência.

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

A relação R   =   { ( P ,   Q ) :   O P   =   O Q } é uma relação de equivalência.

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