45. Prove que uma matriz A de tamanho n × n com entradas complexas é unitária se, e só se, as colunas de A formam um conjunto ortonormal em C n .

Passo 1

Pra matriz ser unitária:

A - 1 = A *

Então:

A * A = I

Agora aplicando determinantes:

det ⁡ ( A * A ) = det ⁡ I

det ⁡ A * det ⁡ A = det ⁡ I

Como det ⁡ ( I ) = 1 , então:

det ⁡ A * det ⁡ A = 1

Se as colunas de A não formassem um conjunto ortogonal, então os vetores coluna não seriam linearmente independentes e, com isso, det ⁡ A = 0 , o que não pode acontecer, senão det ⁡ A * det ⁡ A = 0 .

Resposta

det ⁡ A * det ⁡ A = 1

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