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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 30

30. Mostre que se A for uma matriz n × n com entradas complexas e u e v forem vetores em C n dados em forma de coluna, então

A u ⋅ v = u ⋅ A * v   ;   u ⋅ A v = A * u ⋅ v

Passo 1

Vamos representar uma matriz quadrada com entradas complexas

A = a 11 + b 11 i a 12 + b 12 i a 21 + b 21 i a 22 + b 22 i ⋯ a 1 n + b 1 n i a 2 n + b 2 n i ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 + b 31 i a n 2 + b n 2 i ⋯ a n n + b n n i

E a matriz conjugada:

A ¯ = a 11 - b 11 i a 12 - b 12 i a 21 - b 21 i a 22 - b 22 i ⋯ a 1 n - b 1 n i a 2 n - b 2 n i ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 - b 31 i a n 2 - b n 2 i ⋯ a n n - b n n i

A matriz conjugada transposta:

A ¯ T = a 11 - b 11 i a 21 - b 21 i a 12 - b 12 i a 22 - b 22 i ⋯ a n 1 - b 31 i a n 2 - b n 2 i ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n - b 1 n i a 2 n - b 2 n i ⋯ a n n - b n n i

Sabemos que A * = A ¯ T

Definindo so vetores:

u = u 1 + u 1 ' i u 2 + u 2 ' i ⋮ u n + u n ' i

v = v 1 + v 1 ' i v 2 + v 2 ' i ⋮ v n + v n ' i

Passo 2

Vamos agora fazer:

A u = a 11 + b 11 i a 12 + b 12 i a 21 + b 21 i a 22 + b 22 i ⋯ a 1 n + b 1 n i a 2 n + b 2 n i ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 + b 31 i a n 2 + b n 2 i ⋯ a n n + b n n i u 1 + u 1 ' i u 2 + u 2 ' i ⋮ u n + u n ' i

A u = a 11 + b 11 i u 1 + u 1 ' i + … + a 1 n + b 1 n i u n + u n ' a 21 + b 21 i u 1 + u 1 ' i + … + a 2 n + b 2 n i u n + u n ' i ⋮ a n 1 + b 31 i u 1 + u 1 ' i + … + a n n + b n n i u n + u n ' i

E agora fazendo o produto interno:

A u ⋅ v = a 11 + b 11 i u 1 + u 1 ' i + … + a 1 n + b 1 n i u n + u n ' v 1 + v 1 ' i + … + a n 1 + b 31 i u 1 + u 1 ' i + … + a n n + b n n i u n + u n ' i v n + v n ' i

Resposta

A u ⋅ v = u ⋅ A * v   ;   u ⋅ A v = A * u ⋅ v

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