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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 41

41. (a) Prove que det ⁡ A ¯ = det ⁡ A ¯ .

(b) Use o resultado da parte (a) e o fato de que uma matriz quadrada e sua transposta têm o mesmo determinante para provar que det ⁡ A * = det ⁡ A ¯ .

Passo 1

(a) Vamos primeiro definir uma matriz com entradas complexas:

A = a 11 + b 11 i a 12 + b 12 i a 21 + b 21 i a 22 + b 22 i ⋯ a 1 n + b 1 n i a 2 n + b 2 n i ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 + b 31 i a n 2 + b n 2 i ⋯ a n n + b n n i

Vamos dar uma roubadinha... vamos colocar o i em evidência em cada termo:

A = i a 11 i + b 11 i a 12 i + b 12 i a 21 i + b 21 i a 22 i + b 22 ⋯ i a 1 n i + b 1 n i a 2 n i + b 2 n ⋮ ⋱ ⋮ i a n 1 i + b 31 i a n 2 i + b n 2 ⋯ i a n n i + b n n

A gente pode colocar o i pra fora da matriz, ne:

A = i a 11 i + b 11 a 12 i + b 12 a 21 i + b 21 a 22 i + b 22 ⋯ a 1 n i + b 1 n a 2 n i + b 2 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 i + b 31 a n 2 i + b n 2 ⋯ a n n i + b n n

A = i B

Passo 2

Usando as propriedades:

det ⁡ A = det ⁡ i B

= i n det ⁡ ( B )

Então:

det ⁡ A ¯ = - i n det ⁡ ( B )

O conjugado vai ser, então:

A ¯ = - i a 11 i + b 11 a 12 i + b 12 a 21 i + b 21 a 22 i + b 22 ⋯ a 1 n i + b 1 n a 2 n i + b 2 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 i + b 31 a n 2 i + b n 2 ⋯ a n n i + b n n

A ¯ = - i B

Então, usando as propriedades de determinantes:

det ⁡ A ¯ = det ⁡ - i B

= - i n det ⁡ ( B )

Portanto,   det ⁡ A ¯ = det ⁡ A ¯ . Como queríamos demonstrar.

Passo 3

(b) Bem... como:

A * = A ¯ T

E...

det ⁡ A ¯ = det ⁡ A ¯ T

Então:

det ⁡ A * = det ⁡ A ¯

E do item anterior, como:

det ⁡ A ¯ = det ⁡ A ¯

Então:

det ⁡ A * = det ⁡ A ¯

Resposta

(a) det ⁡ A ¯ = det ⁡ A ¯

(b) det ⁡ A * = det ⁡ A ¯

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