Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 21
- Prove que o paraboloide elíptico é simétrico em relação aos planos e e, consequentemente, à sua interseção .
- Dê contra-exemplos para mostrar que não é simétrico em relação a , nem a nem a
Passo 1
Seja um ponto qualquer do espaço. O seu simétrico em relação ao plano será . Já em relação ao plano será .
Percebam que nós fizemos um ponto qualquer.
Agora, vamos provar a simetria, a começar pelo plano . Provar esta simetria significa dizer que, se o ponto pertence a , o ponto também pertence. Basicamente, vamos substituir ambos os pontos e verificar que ambos geram o mesmo resultado (mesma equação).
Portanto, começando por , temos:
Agora, vamos substituir as coordenadas de . Portanto,
E obtivemos o mesmo resultado ao substituir o ponto ! Portanto, há simetria em relação ao plano . Agora, substituindo as coordenadas de , temos:
Novamente, o mesmo resultado. Portanto, também é simétrico em relação ao plano .
Para finalizarmos, se uma superfície é simétrica em relação a 2 planos, ela também é simétrica em relação a reta interseção deles.
Como a superfície é simétrica em relação ao eixo e , cuja reta interseção é o eixo , isto significa dizer que a superfície é simétrica em relação a reta
Passo 2
Um bom caso para verificarmos como contra-exemplo de simetria, é o ponto . Ele pertence a superfície , pois:
O que obtemos é uma verdade. Já se analisarmos em relação ao ponto é , simétrico em relação ao plano e aos eixos e , ao substituirmos estas coordenadas na equação de , obtemos:
O que é claramente uma mentira. E assim, verificamos esta falsidade. Logo, não é simétrico em relação ao plano e aos eixos e .
Resposta
- Provado.
- Basta verificar que pertence a superfície e o ponto não pertence.