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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 23a

Descreva a curva interseção do paraboloide Ω com o plano π e determine, quando for o caso, centro, focos, vértices, excentricidade, assíntotas, raio etc.

  1. Ω : z + x 2 + 3 y 2 = 0 π : z + 9 = 0
  2. Ω : 4 y - 4 x 2 - z 2 = 0 π : z - 1 = 0
  3. Ω : x + y 2 + 2 z 2 = 0 π : x - 1 = 0

Passo 1

Para podermos descrever qual é a curva interseção da superfície Ω com o plano π , precisamos isolar uma variável na equação do plano e substituir na equação do paraboloide.

Portanto, para o plano π : z + 9 = 0 , basta substituir z = - 9 na equação do paraboloide. Sendo assim, iremos obter:

z + x 2 + 3 y 2 = 0

- 9 + x 2 + 3 y 2 = 0

x 2 + 3 y 2 = 9

x 2 9 + y 2 3 = 1

Curva esta que descreve uma elipse.

Passo 2

Agora, vamos descrever todas as propriedades desta elipse. Uma importante lembrança é de não esquecer sempre de colocar a terceira coordenada z = - 9 para os pontos a seguir!

Ela está centrada em C = 0,0 , - 9 .

Como o denominador de x é maior que o de y , a elipse possui focos na reta paralela ao eixo O x . Portanto, vamos calcular os parâmetros geométricos. Logo,

a = 9 = 3

b = 3

c = a 2 - b 2 = 9 - 3 = 6

Portanto, a elipse tem focos em F = ± c , 0 , - 9 = ± 6 , 0 , - 9 , vértices em A = ± a , 0 , - 9 = ± 3,0 , - 9 e B = 0 , ± b , - 9 = 0 , ± 3 , - 9 .

Por fim, sua excentricidade é:

e = c a = 6 3

Resposta

Uma elipse de centro C = 0,0 , - 9 , focos F = ± 6 , 0 , - 9 , vértices A = ± 3,0 , - 9 e B = 0 , ± 3 , - 9 , excentricidade e = 6 / 3 .

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