Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 8.Problemas Propostos - Ex. 2n

Reduzir cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quadrática que ela representa.

Passo 1

O primeiro passo para reduzir uma equação na forma canônica é fazer com que os termos de maior grau fiquem isolados de termos de menor grau.

Sendo a nossa equação :

Dividindo por :

Isolando:

O próximo passo é analisar as fórmulas propostas pelo livro no capítulo 8 e fazer uma comparação superficial , para dizer qual o tipo da nossa equação.

Passo 2

De acordo com o capítulo 8, nós temos aqui a equação de superfície cilíndrica hiperbólica. Se nas equações um dos termos de tiverem sinais iguais, a equação representa um parabolóide circular:

Dessa forma, nossa equação:

Passo 3

Nossa superfície pode ser escrita como, com folhas que abrem partindo de :

Resposta

Superfície cilíndrica hiperbólica,

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Prove que, se a ≠ b [respectivamente, a = b ], a quádrica Ω : x + h 2 a 2 + z + l 2 b 2 + y + k = 0 é um paraboloide elíptico [respectivamente, de rotação] de vértice - h , - k , - l e eixo de simetri

Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de E 3 que são equidistantes de π : x = 2 e P = - 2,0 , 0 , e identifique-o. Compare com a definição de parábola dada no Capítulo 22.

Prove que as equações abaixo descrevem paraboloides elípticos e esboce-os. x = y 2 a 2 + z 2 b 2 x = - y 2 a 2 - z 2 b 2 y = x 2 a 2 + z 2 b 2 y = - x 2 a 2 - z 2 b 2 z = - x 2 a 2 - y 2 b 2

Considere as selas Ω 1 : z = - x 2 a 2 + y 2 b 2 e Ω 2 : z = x 2 a 2 - y 2 b 2 . Como os segundos membros das equações são opostos um do outro, o esboço de Ω 2 pode ser obtido “virando de ponta-cabeça

Prove que são selas as quádricas descritas pelas equações x = y 2 a 2 - z 2 b 2 x = - y 2 a 2 + z 2 b 2 y = x 2 a 2 - z 2 b 2 y = - x 2 a 2 + z 2 b 2 z = x 2 a 2 - y 2 b 2