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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 43

Prove a parte (a) do Teorema 1.4.1.

Passo 1

Belezinha galera, o item (a) Teorema 1.4.1 diz que A + B = B + A e para mostrar que isso é verdadeiro, temos que demonstrar duas coisa, primeiro que o tamanho de A + B é igual o tamanho de B + A , isto é, se A + B for m xx n , B + A também tem que ser m xx n . Certo, e a segunda coisa que devemos provar é que além de serem de mesma ordem, os elementos da mesma coordenada são os mesmos.

Passo 2

Show de bolinhas então, sobre o tamanho das matrizes, o Teorema já garante que vão ser de mesmo tamanho quando ele diz que as operações estão definidas, já que pra soma de matrizes estarem definidas significa que elas tem exatamente os mesmo tamanho. Logo precisamos provar que os termos de mesma coordenadas são iguais. Seja

A = [[[a_11,a_12,cdots,a_1 j],[a_21,a_22,cdots,a_2 j],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[a_i 1,a_i 2,cdots,a_i j]]] e B = [[[b_11,b_12,cdots,b_1 j],[b_21,b_22,cdots,b_2 j],[vdots,vdots,,vdots],[b_i 1,b_i 2,cdots,b_i j]]]

Então

A + B = [[[a_11,a_12,cdots,a_1 j],[a_21,a_22,cdots,a_2 j],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[a_i 1,a_i 2,cdots,a_i j]]] + [[[b_11,b_12,cdots,b_1 j],[b_21,b_22,cdots,b_2 j],[vdots,vdots,,vdots],[b_i 1,b_i 2,cdots,b_i j]]] =>

=> A + B = [[[a_11 + b_11,a_12 + b_12,cdots,a_1 j + b_1 j],[a_21,+,b_21,a_12 + b_22,cdots,a_2 j,+,b_2 j],[vdots,vdots,,vdots],[a_i 1,+,b_i 1,a_i 2,+,b_i 2,cdots,a_i j + b_i j]]]

Agora para B + A

B + A = [[[b_11,b_12,cdots,b_1 j],[b_21,b_22,cdots,b_2 j],[vdots,vdots,,vdots],[b_i 1,b_i 2,cdots,b_i j]]] + [[[a_11,a_12,cdots,a_1 j],[a_21,a_22,cdots,a_2 j],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[a_i 1,a_i 2,cdots,a_i j]]] =>

=> B + A = [[[b_11 + a_11,b_12 + a_12,cdots,b_1 j,+,a_1 j],[b_21 + a_21,b_22 + a_22,cdots,b_2 j + a_2 j],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[b_i 1 + a_i 1,b_i 2,+,a_i 2,cdots,b_i j,+,a_i j]]]

Passo 3

Ou seja

A + B = [[[a_11 + b_11,a_12 + b_12,cdots,a_1 j + b_1 j],[a_21,+,b_21,a_12 + b_22,cdots,a_2 j,+,b_2 j],[vdots,vdots,,vdots],[a_i 1,+,b_i 1,a_i 2,+,b_i 2,cdots,a_i j + b_i j]]]

B + A = [[[b_11 + a_11,b_12 + a_12,cdots,b_1 j,+,a_1 j],[b_21 + a_21,b_22 + a_22,cdots,b_2 j + a_2 j],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[b_i 1 + a_i 1,b_i 2,+,a_i 2,cdots,b_i j,+,a_i j]]]

Os elementos de A + B e B + A , são dados respectivamente através de uma soma de escalares a_i j + b_i j e b_i j + a_i j . Só que na soma de escalares a ordem da operação não altera o resultado, logo a_i j + b_i j = b_i j + a_i j e

[[[a_11 + b_11,a_12 + b_12,cdots,a_1 j + b_1 j],[a_21,+,b_21,a_12 + b_22,cdots,a_2 j,+,b_2 j],[vdots,vdots,,vdots],[a_i 1,+,b_i 1,a_i 2,+,b_i 2,cdots,a_i j + b_i j]]] = [[[b_11 + a_11,b_12 + a_12,cdots,b_1 j,+,a_1 j],[b_21 + a_21,b_22 + a_22,cdots,b_2 j + a_2 j],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[b_i 1 + a_i 1,b_i 2,+,a_i 2,cdots,b_i j,+,a_i j]]] =>

=> A + B = B + A

Resposta

[[[a_11 + b_11,a_12 + b_12,cdots,a_1 j + b_1 j],[a_21,+,b_21,a_12 + b_22,cdots,a_2 j,+,b_2 j],[vdots,vdots,,vdots],[a_i 1,+,b_i 1,a_i 2,+,b_i 2,cdots,a_i j + b_i j]]] = [[[b_11 + a_11,b_12 + a_12,cdots,b_1 j,+,a_1 j],[b_21 + a_21,b_22 + a_22,cdots,b_2 j + a_2 j],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[b_i 1 + a_i 1,b_i 2,+,a_i 2,cdots,b_i j,+,a_i j]]] =>

=> A + B = B + A

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