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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 40a

Prove a parte (b) do Teorema 3.5.2

Passo 1

Nessa questão precisamos provar vec u xx (vec v + vec w) = (vec u xx vec v) + (vec u xx vec w)

Passo 2

Vamos começar com vec u xx (vec v + vec w)

vec u xx (vec v + vec w) = |[[vec i,vec j,vec k],[u_x,u_y,u_z],[v_x,+,w_x,v_y,+,w_y,v_z,+,w_z]]|

vec u xx (vec v + vec w) = vec i |[[u_y,u_z],[v_y,+,w_x,v_z,+,w_z]]| - vec j |[[u_x,u_z],[v_x,+,w_x,v_z,+,w_z]]| + vec k |[[u_x,u_y],[v_x,+,w_x,v_y,+,w_y]]|

= vec i (u_y (v_z + w_z) - u_z ( v_y + w_x )) - vec j (u_x (v_z + w_z) - u_z (v_x + w_x)) + vec k (u_x (v_y + w_y) - u_y (v_x + w_x))

Passo 3

Agora, vamos desenvolver (vec u xx vec v) + (vec u xx vec w)

(vec u xx vec v) + (vec u xx vec w) = |[[vec i,vec j,vec k],[u_x,u_y,u_z],[v_x,v_y,v_z]]| + |[[vec i,vec j,vec k],[u_x,u_y,u_z],[w_x,w_y,w_z]]|

= vec i |[[u_y,u_z],[v_y,v_z]]| - vec j |[[u_x,u_z],[v_x,v_z]]| + vec k |[[u_x,u_y],[v_x,v_y]]| + vec i |[[u_y,u_z],[w_y,w_z]]| - vec j |[[u_x,u_z],[w_x,w_z]]| + vec k |[[u_x,u_y],[w_x,w_y]]|

= vec i (u_y v_z - u_z v_y) - vec j (u_x v_z - u_z v_x) + vec k (u_x v_y - u_y v_x) + vec i (u_y w_z - u_z w_y) - vec j (u_x w_z - u_z w_x) + vec k (u_x w_y - u_y w_x)

= vec i (u_y v_z - u_z v_y + u_y w_z - u_z w_y) - vec j (u_x v_z - u_z v_x + u_x w_z - u_z w_x) + vec k (u_y v_z - u_z v_y + u_x w_y - u_y w_x)

= vec i (u_y (v_z + w_z) - u_z ( v_y + w_x )) - vec j (u_x (v_z + w_z) - u_z (v_x + w_x)) + vec k (u_x (v_y + w_y) - u_y (v_x + w_x))

Passo 4

Como as expansões dos produtos vetoriais são iguais. Então, demonstramos que

vec u xx (vec v + vec w) = (vec u xx vec v) + (vec u xx vec w)

Resposta

vec u xx (vec v + vec w) = (vec u xx vec v) + (vec u xx vec w)

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Resolver os sistemasa) {[[vec x xx vec j = vec k],[vec x . (4 vec i - 2 vec j + vec k) = 10]])
Efetuare) (3 vec i) xx ( 2 vec j )
Determinar o vetor vec x tal que vec x . (1 , 4 , - 3) = - 7 e vec x xx (4 , - 2 , 1) = ( 3 , 5 , - 2 ) .
Dados os vetores vec u = (3 , 1 , 1) , vec v = ( - 4 , 1 , 3 ) e vec w = ( 1 , 2 , 0 ) , determinar vec x de modo que vec x _|_ vec w e vec x xx vec u = vec v .
Efetuarh) vec j . ( vec j xx vec k )