É um teorema da Geometria Sólida que o volume de um tetraedro é dado por 1 3 á r e a   d a   b a s e ∙ ( a l t u r a ) . Use esse resultado para provar que que o volume de um tetraedro cujos lados são so vetores a → , b → e c → é 1 6 a → ∙ b → × c → .

Passo 1

Nessa questão vamos usar os vetores a → e b → para achar um vetor normal ao plano que eles formam. Esse vetor será usado para acharmos a altura desse tetraedro.

a → × b → = n →

Passo 2

A altura h será dada pela projeção do vetor c → no vetor n → . Logo,

h = c → ∙ n → n →

h = a → × b → ∙ c → a → × b →

Passo 3

Agora, precisamos achar uma equação para a área da base. Vamos usar de base o plano formado por a → e b →

A b = 1 2 a → × b →

Passo 4

Juntando as peças na equação do volume, temos

V = 1 3 A b ∙ h

V = 1 3 ∙ 1 2 a → × b → ∙ a → × b → ∙ c → a → × b →

V = 1 6 ∙ a → × b → ∙ a → × b → ∙ c → a → × b →

V = 1 6 a → × b → ∙ c →

Como a → × b → ∙ c → = a → ∙ b → × c →

V = 1 6 a → ∙ b → × c →

Resposta

V = 1 6 a → ∙ b → × c →

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