Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 36
É um teorema da Geometria Sólida que o volume de um tetraedro é dado por . Use esse resultado para provar que que o volume de um tetraedro cujos lados são so vetores e é .
Passo 1
Nessa questão vamos usar os vetores e para achar um vetor normal ao plano que eles formam. Esse vetor será usado para acharmos a altura desse tetraedro.
Passo 2
A altura será dada pela projeção do vetor no vetor . Logo,
Passo 3
Agora, precisamos achar uma equação para a área da base. Vamos usar de base o plano formado por e
Passo 4
Juntando as peças na equação do volume, temos
Como
Resposta
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Considerando a Figura 3.13, calculare) vec O A . ( vec O C xx vec O E )
Sejam os vetores vec u = (1 , - 2 , 1) , vec v = ( 1 , 1 , 1 ) e vec w = ( 1 , 0 , - 1 ) .c) Mostre que vec u xx (vec v xx vec w) = vec 0 .
Obter um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A ( 2 ,3 ,1 ) , B ( 1 ,- 1 ,1 ) e C ( 4 ,1 ,- 2 ) .
Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores u → + 2 v → e v → - u → , sendo u → = ( - 3 ,2 ,0 ) e v → = ( 0 ,- 1 ,- 2 ) .
Sejam os vetores u → = 1 ,- 2 ,1 ,v → = ( 1 ,1 ,1 ) e w → = ( 1 ,0 ,- 1 ) .a) Utilizar o produto escalar para mostrar que os vetores são, dois a dois, ortogonais.