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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 36

É um teorema da Geometria Sólida que o volume de um tetraedro é dado por 1 3 á r e a   d a   b a s e ∙ ( a l t u r a ) . Use esse resultado para provar que que o volume de um tetraedro cujos lados são so vetores a → , b → e c → é 1 6 a → ∙ b → × c → .

Passo 1

Nessa questão vamos usar os vetores a → e b → para achar um vetor normal ao plano que eles formam. Esse vetor será usado para acharmos a altura desse tetraedro.

a → × b → = n →

Passo 2

A altura h será dada pela projeção do vetor c → no vetor n → . Logo,

h = c → ∙ n → n →

h = a → × b → ∙ c → a → × b →

Passo 3

Agora, precisamos achar uma equação para a área da base. Vamos usar de base o plano formado por a → e b →

A b = 1 2 a → × b →

Passo 4

Juntando as peças na equação do volume, temos

V = 1 3 A b ∙ h

V = 1 3 ∙ 1 2 a → × b → ∙ a → × b → ∙ c → a → × b →

V = 1 6 ∙ a → × b → ∙ a → × b → ∙ c → a → × b →

V = 1 6 a → × b → ∙ c →

Como a → × b → ∙ c → = a → ∙ b → × c →

V = 1 6 a → ∙ b → × c →

Resposta

V = 1 6 a → ∙ b → × c →

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Considerando a Figura 3.13, calculare) O A → . ( O C → × O E → )
Sejam os vetores u → = 1 ,- 2 ,1 ,v → = ( 1 ,1 ,1 ) e w → = ( 1 ,0 ,- 1 ) .c) Mostre que u → × v → × w → = 0 → .
Obter um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A ( 2 ,3 ,1 ) , B ( 1 ,- 1 ,1 ) e C ( 4 ,1 ,- 2 ) .
Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores u → + 2 v → e v → - u → , sendo u → = ( - 3 ,2 ,0 ) e v → = ( 0 ,- 1 ,- 2 ) .
Sejam os vetores u → = 1 ,- 2 ,1 ,v → = ( 1 ,1 ,1 ) e w → = ( 1 ,0 ,- 1 ) .a) Utilizar o produto escalar para mostrar que os vetores são, dois a dois, ortogonais.