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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 40c

Prove a parte (d) do Teorema 3.5.2

Passo 1

Nessa questão precisamos provar k (vec u xx vec v) = (k vec u) xx vec v = vec u xx (k vec v)

Vamos resolver cada uma das parcelas dessa parte.

Passo 2

Vamos começar desenvolvendo k (vec u xx vec v)

k (vec u xx vec v) = k |[[vec i,vec j,vec k],[u_x,u_y,u_z],[v_x,v_y,v_z]]|

k (vec u xx vec v) = k (vec i |[[u_y,u_z],[v_y,v_z]]| - vec j |[[u_x,u_z],[v_x,v_z]]| + vec k |[[u_x,u_y],[v_x,v_y]]|)

k (vec u xx vec v) = k (vec i (u_y v_z - u_z v_y) - vec j (u_x v_z - u_z v_x) + vec k (u_x v y - u_y v_x))

Passo 3

Agora, faremos o mesmo com (k vec u) xx vec v

(k vec u) xx vec v = |[[vec i,vec j,vec k],[k u_x,k u_y,k,u_z],[v_x,v_y,v_z]]|

(k vec u) xx vec v = vec i |[[k u_y,k u_z],[v_y,v_z]]| - vec j |[[k u_x,k,u_z],[v_x,v_z]]| + vec k |[[k u_x,k,u_y],[v_x,v_y]]|

(k vec u) xx vec v = vec i (k u_y v_z - k u_z v_y) - vec j (k u_x v_z - k u_z v_x) + vec k (k u_x v y - k u_y v_x)

(k vec u) xx vec v = k (vec i (u_y v_z - u_z v_y) - vec j (u_x v_z - u_z v_x) + vec k (u_x v y - u_y v_x))

Passo 4

Agora, vamos desenvolver vec u xx (k vec v)

vec u xx (k vec v) = |[[vec i,vec j,vec k],[u_x,u_y,k,u_z],[k v_x,k v_y,k v_z]]|

vec u xx (k vec v) = vec i |[[u_y,u_z],[k v_y,k,v_z]]| - vec j |[[u_x,u_z],[k v_x,k,v_z]]| + vec k |[[u_x,u_y],[k v_x,k v_y]]|

vec u xx (k vec v) = vec i (u_y k v_z - u_z k v_y) - vec j (u_x k v_z - u_z k v_x) + vec k (u_x k v_y - u_y k v_x)

vec u xx (k vec v) = k (vec i (u_y v_z - u_z v_y) - vec j (u_x v_z - u_z v_x) + vec k (u_x v y - u_y v_x))

Passo 5

Como as expansões dos produtos vetoriais são iguais. Então, demonstramos que

k (vec u xx vec v) = (k vec u) xx vec v = vec u xx (k vec v)

Resposta

k (vec u xx vec v) = (k vec u) xx vec v = vec u xx (k vec v)

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