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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas propostos - Ex. 6

Dados os vetores vec u = (3 , 1 , 1) , vec v = ( - 4 , 1 , 3 ) e vec w = ( 1 , 2 , 0 ) , determinar vec x de modo que vec x _|_ vec w e vec x xx vec u = vec v .

Passo 1

Vamos chamar vec x = ( a , b , c ) ok??

Temos, da primeira condição, vec x _|_ vec w , logo, vec x . vec w = 0

(a , b , c) . (1 , 2 , 0) = 0

1 a + 2 b + 0 c = 0

a + 2 b = 0 ( I )

Passo 2

Da segunda condição, temos vec x xx vec u = vec v , ou seja:

(a , b , c) xx (3 , 1 , 1) = ( - 4 , 1 , 3 )

Esse produto vetorial é dado pelo determinante:

|[[vec i,vec j,vec k],[a,b,c],[3,1,1]]| = ( - 4 , 1 , 3 )

Resolvendo o determinante, temos

( b - c ) vec i + ( 3 c - a ) vec j + ( a - 3 b ) vec k = ( - 4 , 1 , 3 )

(b - c , 3 c - a , a - 3 b) = ( - 4 , 1 , 3 )

Igualando as coordenadas, temos que

{[[b - c = - 4],[- a + 3 c = 1],[a - 3 b = 3]]) ( I I )

Passo 3

Acrescentando a equação ( I ) no sistema ( I I ) , temos

{[[b - c = - 4],[- a + 3 c = 1],[a - 3 b = 3],[a + 2 b = 0]])

Opa gente, mas se formos resolver esse sistema, vamos perceber que ele é um sistema impossível :O isso quer dizer que não existe vetor vec x que satisfaça as nossas condições :(

Ta bom, mas por quê??

Repara que o enunciado disse que vec x xx vec u = vec v . Sabemos que o resultado de um produto vetorial sempre vai ser um terceiro vetor ortogonal aos outros dois, ou seja, no caso o vec v deve ser ortogonal a vec x e a vec u . Mas isso não acontece, pois vec u e vec v não são ortogonais!! O produto escalar entre eles é diferente de 0!!

(3 , 1 , 1) . (- 4 , 1 , 3) = - 12 + 1 + 3 = - 8

Portanto, não vai existir mesmo um vec x que nos satisfaça :/

Resposta

Não existe.

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(c) Sejam α ,β e γ , respectivamente, as medidas angulares entre u → ∧ v → e i → , u → ∧ v → e j → , u → ∧ v → e k → .Mostre que S Ω i j = S Ω cos ⁡ γ ,S Ω i k = S Ω cos ⁡ β e S Ω j k = S Ω cos ⁡ α .
Sejam ∧ e ∧ * os produtos vetoriais associados às duas orientações distintas de V 3 . Exprima: a → ∧ * b → em função de a → ∧ b → ; a → ∧ * b → ∧ * c → em função de a → ∧ b → ∧ c → ; a → ∧ * b → ∧ * c
No triângulo A B C , A H é a altura relativa ao vértice A . Prove que B C → ∧ ( A B → ∧ A C → ) é paralelo a A H .
São dados os pontos O , A , B e C .(a) Prove que o vetor x → A B C = O A → ∧ O B → + O B → ∧ O C → + O C → ∧ O A → não depende do ponto O , isto é, qualquer que seja o ponto P , P A → ∧ P B → + P B →
O vetor v → é ortogonal aos vetores u → = 2 ,- 1 ,3 e w → = 1 ,0 ,- 2 e forma ângulo agudo com o vetor j → . Calcular v → , sabendo que v → = 3 6