Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 10

Prove: só pode haver alguma transformação linear de V sobre W se dim ⁡ V ≥ dim ⁡ W .

Passo 1

Show de bolinhas galera, de acordo com a Definição 2, “Se T : V → W for uma transformação linear de um espaço vetorial W , dizemos que T é uma transformação sobrejetora ou, simplesmente, sobre W , se qualquer vetor em W for a imagem de pelo menos um vetor em V .” Ou seja, dado o contradomínio W , a transformação é sobrejetora quando a dimensão da imagem é igual a dimensão de W . Se mostrarmos que isso não pode acontecer, vamos provar a proposição.

Passo 2

Dado que T : V → W , e dim ⁡ V ≥ dim ⁡ W , suponha que dim ⁡ W = m e dim ⁡ V = n , como W é o contradomínio, pra ser sobrejetora, dim ⁡ I m T = p o s T = m . Dessa forma, de acordo com o Teorema 8.1.4

p o s T + n u l T = N

Onde N é a dimensão do domínio V , que é n

m + n u l T = n

n u l T = n - m

Se dim ⁡ V ⏝ n ≥ dim ⁡ W ⏝ m , então n - m ≥ 0 . MAAAASSS, se dim ⁡ V ⏝ n < dim ⁡ W ⏝ m , então n - m < 0 , o que não faz sentido, já que n u l ( T ) não pode ser menor que 0 . Logo, pra transformação T : V → W ser sobre W , necessariamente dim ⁡ V ≥ dim ⁡ W .

Resposta

Demonstração

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada parte, encontre N u c ( T ) e determine se a transformação linear é injetora. T : R 2 → R 2 , com T x ,y = ( y ,x ) . T : R 2 → R 2 , com T x ,y = ( 0 ,2 x + 3 y ) . T : R 2 → R 2 , com T x ,y
Prove: se V e W forem espaços vetoriais de dimensão finita tais que dim ⁡ Wd i m ⁡ ( V ) , então nenhuma transformação linear T : V → W é injetora.
Quais das transformações do Exercício 3 são sobre?. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Conforme indicado na figura, seja T : R 2 → R 2 a projeção ortogonal na reta y = x .Encontre o núcleo de T . T será injetora? Justifique sua resposta.