Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 6

Conforme indicado na figura, seja o operador linear que reflete cada ponto no eixo .

Encontre o núcleo de .

será injetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

Belezinha então galerinha, vamos primeiro encontrar a matriz que representa essa reflexão em torno do eixo , e a partir dela a gente consegue encontrar o núcleo e verificar se é injetora ou não.

Passo 2

Como a transformação é uma reflexão em torno do eixo , isso quer dizer que tudo que é ortogonal a esse eixo, no caso o eixo , é refletido, e tudo que está no eixo permanece intacto. Logo podemos representar essa transformação como .

Passo 3

Dado que a transformação é vamos ter uma matriz . E a partir de extraímos que

Passo 4

Na letra (a), pediram pra gente encontrar o núcleo de , que nada mais é do que a solução do sistema . Resolvendo para

Logo, , e nosso núcleo é a solução trivial .

Passo 5

Na letra (b), como temos que , nossa matriz vai ser injetora.

Resposta

.
é injetora.

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