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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 4

Quais das transformações do Exercício 3 são sobre?.

  1. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6
  2. A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0
  3. A = 4 - 2 1 5 5 3

Passo 1

Show de bolinhas galera, de acordo com a Definição 2, “Se T : V → W for uma transformação linear de um espaço vetorial W , dizemos que T é um transformação sobrejetora ou, simplesmente, sobre W , se qualquer vetor em W for a imagem de pelo menos um vetor em V .” Ou seja, dado o contradomínio W , a transformação é sobrejetora quando a dimensão da imagem é igual a dimensão de W . Como no exercício 3, já descobrimos o valor da nulidade das transformações, e usando do Teorema 8.1.4 que traz a Equação 7, p o s T + n u l T = n , podemos descobrir o posto de T e conferir se a dimensão é igual do contradomínio.

Passo 2

Na letra (a) temos uma transformação dada por T : R 2 → R 3 , onde o contradomínio é R 3 e de acordo com o Exercício 3 encontramos que n u l A = 1 , logo

p o s T + n u l T = n ⇒ p o s A + 1 = 2

p o s A = 1

Como p o s A ≠ 3 , a matriz não é sobrejetora.

Passo 3

Na letra (b) temos uma transformação T : R 4 → R 3 , onde o contradomínio é o espaço R 3 , vimos que n u l A = 1 , portanto

p o s T + n u l T = n ⇒ p o s A + 1 = 4

p o s A = 3

Como p o s A = R 3 , nossa transformação é sobrejetora.

Passo 4

Na letra (c), vimos que a transformação é T : R 2 → R 3 , onde o contradomínio é R 3 , mas dessa vez n u l A = 0 . Logo

p o s A + n u l A = n ⇒ p o s ( A ) + 0 = 2

p o s A = 2

Portanto, como p o s A ≠ 3 , a matriz não é sobrejetora.

Resposta

  1. A não é sobrejetora.
  2. A é sobrejetora.
  3. A   n ã o   é   s o b r e j e t o r a .
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