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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 5

Conforme indicado na figura, seja T : R 2 → R 2 a projeção ortogonal na reta y = x .

  1. Encontre o núcleo de T .
  2. T será injetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

Belezinha então galerinha, vamos primeiro encontrar a matriz que representa essa projeção ortogonal na reta e a partir dela a gente consegue encontrar o núcleo e conferir se ela é injetora, então bora lá.

Passo 2

Como a transformação é uma projeção ortogonal em uma reta, isso quer dizer que ela leva tudo que é ortogonal a reta, em 0 . E tudo que está na reta, continua na reta. Ou seja, dado o vetor ( x ,   y ) , temos que a reta

y = x ⇒ x ,   x = x ( 1 ,   , 1 )

Logo o vetor que representa a reta y = x é ( 1 ,   1 ) . E pra encontrarmos o vetor ortogonal a essa reta, é só olharmos para os coeficientes da reta igualada a zero, assim ó

y = x ⇒ x - y = 0

Os coeficientes de x   e   y são 1   e - 1 , logo o vetor ortogonal a reta ( 1 ,   1 ) é ( 1 ,   - 1 ) .

Passo 3

Dado que a transformação é T : R 2 → R 2 vamos ter uma matriz 2 × 2 . Suponha que

A = a b c d

Logo

a b c d 1 1 = 1 1     e     a b c d 1 - 1 = 0 0

a b c d 1 1 1 - 1 = 1 0 1 0 ⇒ a b c d = 1 0 1 0 1 1 1 - 1 - 1

⇒ a b c d = 1 0 1 0 - 1 2 - 1 - 1 - 1 1 ⇒ a b c d = 1 2 1 0 1 0 1 1 1 - 1

a b c d = 1 2 1 2 1 2 1 2

Passo 4

Na letra (a), pediram pra gente encontrar o núcleo de T , que nada mais é do que a solução do sistema A x → = 0 → . Mas pra encontrarmos a matriz, nós já encontramos o vetor que é levado no 0 → , que é exatamente o vetor ortogonal a reta y = x . Portanto N u c T = { 1 ,   - 1 } .

Passo 5

Na letra (b), como temos que n u l T ≠ 0 , nossa matriz não vai ser injetora.

Resposta

  1. N u c T = { 1 ,   - 1 } .
  2. A não é injetora.
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